桃未芳菲杏未红，冲寒先已笑东风。

# 熵

# 熵的定义

离散型随机变量 $X$ 的熵 (entropy) 定义为

$H(X):=-\sum_{x\in\mathcal{X}}p(x)\log p(x)$

其中对数函数 $\log$ 的底为 $2$ . 此外，由于 $\displaystyle \lim_{x\to0}x\log x = 0$ , 故约定 $0\log0=0$ , 即零概率项不影响熵的值。

注意到，可以采用随机变量 $\log(1/p(x))$ 的数学期望表示熵，即

$H(X) = \mathbb{E}\log\frac{1}{p(x)}$

熵的单位为比特 (bit). 例如，抛掷均匀硬币的熵为 $1$ 比特，随机选择一个单选题（四选项）的熵为 $2$ 比特。

对于熵的底，如果采用底数 $b$ , 则对应的熵记作 $H_b(X)$ . 特别地，底数为 $e$ 时熵的单位为奈特 (nat).

# 熵的基本性质

非负性: $H(X) \geq 0$ .
根据 $p(x) \in [0,1]$ 即证。
$H_b(X) = (\log_b a) H_a(X)$ .
根据换底公式即证。

既然可以将熵看作一个以密度函数为自变量的函数，那么基本的考虑是关注密度函数变化时，熵的变化情况。于是构造随机变量 $X$ , 取 $1$ 的概率为 $p$ , 取 $0$ 的概率为 $1-p$ , 其中 $p \in [0,1]$ . 那么

$H(X) = -p\log p - (1-p)\log (1-p) \triangleq H(p)$

通过计算容易得到 $H(p)$ 是一个关于 $p=1/2$ 对称的形似抛物线的凸函数。于是 $p=1/2$ 时熵最大，为 $1$ .

# 联合熵与条件熵

# 联合熵

联合熵是对两个随机变量的情形。

对于服从联合分布为 $p(x,y)$ 的一对离散随机变量 $(X,Y)$ , 其联合熵定义为

$H(X,Y) \coloneqq -\sum_{x\in\mathcal{X}}\sum_{y\in\mathcal{Y}}p(x,y)\log p(x,y)$

或表示为

$H(X,Y) = -\mathbb{E}\log p(X,Y)$

# 条件熵

此外，还可以定义一个随机变量在另一个随机变量下的条件熵。

对于服从联合分布为 $p(x,y)$ 的一对离散随机变量 $(X,Y)$ , 其条件熵定义为

$H(Y|X) := -\sum_{x\in\mathcal{X}}\sum_{y\in\mathcal{Y}}p(x,y)\log p(y|x) = -\mathbb{E}\log p(Y|X)$

对于联合熵与条件熵，我们可以将其天然地联系起来。即 $H(X,Y) = H(X) + H(Y|X)$ . 此定理称为链式法则。

# 相对熵和互信息

# 相对熵

对两概率密度函数 $p(x),q(x)$ , 称

$D_{\mathrm{KL}}(p\|q) \coloneqq \sum_{x \in \mathcal X}p(x)\log \frac{p(x)}{q(x)} = \mathbb{E}_p\log\frac{p(x)}{q(x)}$

为相对熵 (relative entropy)，又称 KL 散度 (Kullback-Leibler divergence) 或 KL 距离，记作 $D_{\mathrm{KL}}(p\|q)$ , 是两个密度分布之间距离的衡量。

此外，基于连续性，我们一般约定 $0\log\frac{0}{0} = 0$ , $0\log\frac{0}{q} = 0$ , $p\log\frac{p}{0} = \infty$ .

# 互信息

互信息 (mutual information) 是一个随机变量中包含另一个随机变量信息量的度量。

若两随机变量 $X,Y$ 的联合概率密度为 $p(x,y)$ , 边际概率密度分别为 $p(x), p(y)$ , 则其互信息为 $p(x,y)$ 与 $p(x)p(y)$ 之间的相对熵，即：

$I(X;Y) \coloneqq \sum_{x \in \mathcal X}\sum_{y \in \mathcal Y}p(x,y)\log\frac{p(x,y)}{p(x)p(y)} = D_{\mathrm{KL}}(p(x,y)\|p(x)p(y)) = \mathbb{E}_{p(x,y)}\log\frac{p(x,y)}{p(x)p(y)}$

基于互信息的定义，可以得到

$I(X;Y) = H(X) - H(X|Y)$

因此，我们说互信息 $I(X;Y)$ 是获取信息 $Y$ 后， $X$ 的不确定度的缩减量。

基于对称性，还可以得到

$I(X;Y)$

# 困惑度

困惑度 (perplexity) 是衡量一个概率分布模型拟合实际情况好坏的度量，其定义为

$PP(p) \coloneqq 2^{H(p)} = 2^{-\sum_x p(x)\log_2p(x)} = \prod_xp(x)^{-p(x)}$

# 熵