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Truth is the daughter of time, not of authority.

# 概述

精算师 (Actuary)

精算考虑的是过去的决策对将来不确定性风险条件下的影响。

精算包括寿险精算和非寿险精算。

# 寿险精算数学

# 生存分布与生命表

# 连续型的死亡年龄概率分布

设刚出生的婴儿死亡年龄为XX，则XX 是一个连续型随机变量。我们定义其分布函数F(x)=P(X≤x)F(x)=\mathbb{P}(X \leq x)，密度函数为f(x)f(x)。

# 离散型死亡年龄的概率分布

此外，我们还可以将死亡年龄建模成离散型随机变量，将死亡年龄取整数值KK。假设其在年龄kk 时死亡的概率为qkq_k，则有∑i=0∞qi=1\sum_{i=0}^\infty q_i = 1，其分布函数F(x)=∑k=0[x]qkF(x) = \sum_{k=0}^{[x]}q_k。

# 生存分布

在上述建模基础上，我们需要引入一些函数以简化我们的计算和表达。首先，我们引入生存函数。

我们定义生存函数s(x):=P(X>x)=1−F(x)s(x):=\mathbb{P}(X>x) = 1-F(x)，其中x≥0x \geq 0。于是s(x)s(x) 表示新生儿活到xx 岁的概率。容易发现，生存函数是单调递减的右连续函数，f(x)=−s′(x)f(x) = -s'(x)，且s(0)=1s(0)=1，lim⁡x→∞s(x)=0\lim_{x\to\infty}s(x)=0。

在生存函数的基础上，我们定义极限寿命ω\omega 为min⁡{x∣s(x)=0}\min\{x|s(x)=0\}。

# 未来 (剩余) 寿命

我们定义未来寿命 (Future Lifetime) 是(x)(x) 至死亡还能存活的时间，记作T(x)T(x)；其所能存活的整年数称为未来整值剩余寿命，记作K(x):=[T(x)]K(x):=[T(x)]。其中(x)(x) 表示年龄为xx 岁的人。此处，T(x)T(x) 与K(x)K(x) 都是依赖于(x)(x)，相对于时间tt 变化的随机变量。

此外，我们还有一些国际通用的精算符号：

  1. tqx_tq_x: 表示(x)(x) 在tt 年内死亡的概率。其中t≤0t \leq 0，若t=1t=1，则简记为qxq_x。
  2. tpx_tp_x: 表示(x)(x) 至少再活tt 年的概率。特别地，xp0=s(x)_xp_0 = s(x)。显然有tpx=1−tqx_tp_x = 1-\\_tq_x。若t=1t=1，则简记为pxp_x。
  3. t∣uqx_{t|u}q_x: 表示(x)(x) 至少再活tt 年且在其后的uu 年内死亡的概率。若u=1u=1，则简记为t∣qx_{t|}q_x。

下面我们计算未来寿命的概率分布：

T(x)T(x) 的分布函数

FT(x)(t)=P(T(x)≤t)=t⁣⁣qx=1−s(x+t)s(x)F_{T(x)}(t) = \mathbb{P}(T(x) \leq t) = _t\!\!q_x = 1-\frac{s(x+t)}{s(x)}

K(x)K(x) 的概率函数

P(K(x)=k)=P(k≤T(x)<k+1)=k+1qx−k⁣⁣qx=k⁣⁣px−k+1px\mathbb{P}(K(x)=k) = \mathbb{P}(k\leq T(x) < k+1) =\\_{k+1}q_x - _k\!\!q_x = _k\!\!p_x -\\_{k+1}p_x

# 死力

# 定义

我们定义单位时间上的死亡率为死力 (Force of Mortality)，记作μx\mu_x。于是，根据定义，有

μx:=−ds(x)s(x)dx=−dln⁡s(x)dx=−(ln⁡s(x))′.\mu_x:=\frac{-\mathrm{d}s(x)}{s(x)\mathrm{d}x} = -\frac{\mathrm{d}\ln s(x)}{\mathrm{d}x} = -\left(\ln s(x)\right)'.

注意，μx≠s′(x)\mu_x \neq s'(x)，因为此时的总人数为s(x)s(x) 而非11.

在此基础上，容易得到：

s(x)=exp⁡(−∫0xμsds).s(x) = \exp\left(-\int_0^x\mu_s\mathrm ds\right).

于是，如果检验一个函数是否为死力函数，那么就由其求生存函数，再根据生存函数的性质检验。

关于μx\mu_x 与tpx_tp_x，tqx_tq_x，t∣uqx_{t|u}q_x 的关系，可以转化成s(x)s(x) 再计算。

# 常见解析形式

对于死力，有四种常见的建模形式，以创建者分别命名。

名称μx\mu_xs(x)s(x)条件限制
De Moivre(1729)1ω−x\frac{1}{ω-x}{}1−xω1-\frac{x}{ω}{}0≤x<ω0\leq x<\omega, ω\omega 为极限寿命
Gompertz(1825)BCxBC^xexp⁡(−BCx−Bln⁡C)\exp(-\frac{BC^x-B}{\ln C})x≥0,B>0,C≥1x \geq 0, B>0, C \geq 1
Makeham(1860)A+BCxA+BC^xexp⁡(−Ax−BCx−Bln⁡C)\exp(-Ax-\frac{BC^x-B}{\ln C})x≥0,B>0,C≥1,A≥−Bx \geq 0, B>0, C \geq 1, A \geq -B
Weibull(1939)kxnkx^nexp⁡(−kxn+1n+1)\exp(-\frac{kx^{n+1}}{n+1})x≥0,k>0,n>0x \geq 0, k > 0, n > 0

# 生命表

# 生命表

根据以往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制而成的、由每个年龄段上的死亡概率所组成的汇总表称为生命表 (Life Table)，又称死亡表或寿命表。

因此，生命表是研究群体死亡性质的统计性表格。

# 生命表函数

在生命表数据前提下，我们研究由l0l_0 个新生儿构成的群体的特征。根据生命表，可以定义该群体的几个基本函数。

  1. 生存人数lx:=l0s(x)l_x:=l_0s(x)：表示该群体中能活到xx 岁的期望人数。

  2. 死亡人数nDx_nD_x：表示上述群体中在未来xx 年至x+nx+n 年死亡的人数，是一个随机变量，期望值以ndx_nd_x 表示。显然

ndx=lx−lx+n._nd_x=l_x-l_{x+n}.

  1. 生存人年数nLx_nL_x：表示年龄为xx 的lxl_x 人在未来nn 年生存的时间之和。显然

nLx=∫0ntd(−lx+t)+nlx+n=∫0nlx+tdt._nL_x=\int_{0}^{n}t\mathrm d(-l_{x+t}) + nl_{x+n} = \int_{0}^nl_{x+t}\mathrm dt.

  1. 累积生存人年数TxT_x：表示自xx 岁开始的各年龄上生存人年数总和。

Tx=+∞Lx=∫0+∞lx+tdt.T_x=_{+\infty}L_x = \int_{0}^{+\infty}l_{x+t}\mathrm dt.

  1. 中心死亡率 (Central Death Rate)nmx_nm_x：表示单位时间死力的加权平均，作为现实中死亡率的估计。定义nn 年的中心死亡率为

nmx:=∫0nlx+tμx+tdt∫0nlx+tdt=lx−lx+nnLx=ndxnLx._nm_x:=\frac{\int_{0}^nl_{x+t}\mu_{x+t}\mathrm dt}{\int_0^nl_{x+t}\mathrm dt} = \frac{l_{x}-l_{x+n}}{_nL_x}=\frac{_nd_x}{_nL_x}.

  1. 平均生存年数α(x)\alpha(x)：表示在[x,x+1)[x,x+1) 内死亡者的平均生存年数。显然

α(x)=Lx−lx+1dx=LX−lx+1lx−lx+1.\alpha(x)=\frac{L_x-l_{x+1}}{d_x}=\frac{L_X-l_{x+1}}{l_x-l_{x+1}}.

根据此，可以得到插值公式

Lx=α(x)lx+(1−α(x))lx+1.L_x=\alpha(x)l_x+(1-\alpha(x))l_{x+1}.

e∘\overset{\circ}{e}