title: 投资学笔记 (2)：资产组合理论
date: 2024-2-14
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• 金融数学
• 金融投资学
  math: true

# 利率

# 名义利率和实际利率

采用消费者物价指数 (Consumer Price Index, CPI) $i$ 来衡量通货膨胀，则若名义利率 (nominal interest rate) 为 $r_n$, 实际利率 (real interest rate) 为 $r_r$，则有

$$1+r_n = (1+r_r)(1 + i),$$

即

$$r_r = \frac{r_n - i}{1 + i} \approx r_n - i.$$

我们将 $r_n = r_r + E(i)$ 称为费雪等式 (Fisher's equation), 其中 $E(i)$ 是预期通货膨胀率。

税收会对实际利率带来严重影响。假设税收为 $t$. 则税后实际利率为

$$r_n(1-t) - i$$

假设 $t = 30\%$, $r_n = 12\%$, $i = 8\%$, 则税前利率为 $4\%$, 而税后实际利率仅 $0.4$.

# 不同持有期的收益率

涉及的概念包括：

• 有效年利率 (effective annual rate, EAR): 为一年期投资价值增长的百分比。
• 年化百分比利率 (annualized percentage rate, APR): 为持有期内投资价值增长的百分比，按照单利计算。因此假设投资期限为 $T$, 则 $\mathrm{APR} = \frac{1}{T}((1+\mathrm{EAR})^T-1)$.
• 连续复利 (continuous corresponding): 记作 $r_{cc}$, 有关系 $1 + \mathrm{EAR} = \exp(r_{cc})$, 即 $r_{cc} = \ln(1 + \mathrm{EAR})$.

# 风险及其度量

对于股票和相应的股指基金，持有期收益率 (Holding-Period Return, HPR) 定义为单位期初价格对应的所有收益，即

$$\mathrm{HPR} = \frac{P_{n+1} - P_n + \text{Income}}{P_n}.$$

其中 $P_{n+1}$ 为期末价格，$P_n$ 为期初价格，$Income$ 为现金股利。对仍未进行的投资，我们采用期望收益率及其标准差衡量收益与风险。

# 风险溢价与超额收益

风险溢价 (risk premium) 是持有期收益率与无风险利率之间的差值。有时也称为超额收益 (excess return).

# 夏普比率

事前 (ex-ante) 夏普比率 (Sharpe ratio) 是风险溢价与其标准差之比，即单位风险对应的超额收益，公式表示为

$$S_a = \frac{\mathbb{E}(R_a - R_b)}{\sigma_a} = \frac{R_a - R_b}{\sqrt{\mathrm{var}(R_a - R_b)}}.$$

其中 $R_a$ 是预期资产收益率，$R_b$ 是无风险利率，$\sigma_a$ 是预期资产收益率的标准差。

夏普比率的扩展称为信息比率 (information ratio), 采用部分有风险投资作为衡量基准，而不是无风险利率。

# 在险价值

如同决策树等最优化模型研究 minmax 问题。在资产风险与收益中，研究最低收益的最大值同样重要。

在险价值 (value at risk, VaR) 就用来度量一定概率下极端负收益造成的损失。通常使用的是 $5\%$ 的 VaR, 即表示 $95\%$ 的收益率都大于该值。

# 预期尾部损失

VaR 反映的是尾部风险的最小损失，而预期损失 (expected shortfall, ES) 则表示的是尾部风险的期望损失，又称作条件尾部期望 (conditional tail).

对于正态分布，ES 的公式为（同样假设尾部分位数为 $5\%$ ）：

$$\mathrm{ES} = \frac{1}{0.05} \exp(\mu) \Phi(-\sigma-\Phi^{-1}(0.95)) - 1.$$

# 下偏标准差与索提诺比率

# 风险资产配置

# 投机、赌博与风险偏好

在上一段中，我们简单总结了风险及其常见度量，但我们未讨论投资者对于风险的偏好。值得注意的是，投机 (speculation) 作为一种利用价差获利的行为，本身不应被赋予贬义。同样地，风险不等同于损失。赌博作为高风险零和博弈，也存在获利可能。因此，不能简单通过期望收益评价投资者的投资行为。

按照风险偏好和投资目的的不同，投资者可以分为三类：

• 对冲者 (hedger): 希望资产组合的波动性最小化，即最小化资产组合的方差。
• 投机者 (speculator): 希望资产组合的收益率最大化，即最大化资产组合的期望收益率。
• 套利者 (arbitrager): 希望资产组合的收益率最大化，同时最小化波动性。

因此，不同类型的投资者对风险（波动性）的偏好不同。

# 基于风险与收益的投资效用

风险厌恶 (risk averse) 投资者会放弃公平博弈和更差的投资，而偏好无风险资产和有正风险溢价的资产。最常用的效用衡量函数为：

$$U = \mathbb{E}(r) - \frac{1}{2} A\sigma^2.$$

其中 $U$ 是效用值，$A$ 是投资者的风险厌恶系数。$A>0$ 称为风险厌恶投资者，是最常见的投资者类型；$A=0$ 称为风险中性 (risk neutral) 投资者，只依据风险溢价判断确定投资行为；$A<0$ 称为风险偏好者 (risk lover), 他们会从赌博中获得乐趣，哪怕这可能降低投资的风险溢价。

显然，这是一个并无道理的经验公式，仅可以表示效用与收益正相关，与风险负相关。但仍可将该效用看作等价意义的收益率，称作确定等价收益率 (centainty equivalent rate), 并以此衡量不同投资组合的优劣。

# 双资产投资组合

# 风险资产与无风险资产的投资组合

最基本的资产组合方式是单一风险资产与单一无风险资产的组合。

假设风险资产 $P$ 投资比例为 $y$, 收益率 $r_P$, 期望收益 $E(r_P)$, 标准差 $\sigma_P$. 无风险资产 $F$ 投资比例为 $1-y$, 收益率 $r_F$.

则风险组合 $C$ 的收益率为

$$r_C = yr_P + (1-y)r_F,$$

则收益率的方差为

$$\sigma_C = y\sigma_P.$$

那么，可以得到

$$\mathbb{E}(r_C) = y\mathbb{E}(r_P) + (1-y)r_F = r_F + \frac{\sigma_C}{\sigma_P}(\mathbb{E}(r_P) - r_F) = r_F + \sigma_C S_P,$$

则组合 $C$ 的期望收益函数是一条直线，斜率 $S_P$ 是风险资产 $P$ 的夏普比。该直线称为资本配置线 (capital allocation line, CAL), 它表示了不同风险资产的所有可行收益组合。

于是，该组合的夏普比

$$S_C = \frac{\mathbb{E}(r_C) - r_F}{\sigma_C} = \frac{\sigma_C S_P}{\sigma_C} = S_P.$$

前面我们引入了投资效用的经验公式 $U = E(r) - \frac{1}{2}A \sigma^2$. 则投资组合 $C$ 效用可公式化为

$$\begin{aligned} U & = \mathbb{E}(r_C) - \frac{1}{2}A \sigma_C^2 \\ & = r_F + S_P\sigma_C - \frac{1}{2}A\sigma_C^2 \\ & = - \frac{A}{2}(\sigma_C - \frac{S_P}{A})^2 + \frac{S_P^2}{2A} + r_F \end{aligned}$$

效用的经验公式是一个二次形式，故最终的效用一般情况下（即 $A>0$ 时）存在最大值。当 $\sigma_C^\star = S_P/A$ 时取到，此时

$$y^\star = \frac{S_P}{A\sigma_P} = \frac{\mathbb{E}(r_P) - r_F}{A\sigma_P^2}.$$

但我们不能限定该值在 $[0,1]$ 内。因此总是有人喜欢尝试杠杆博取收益。

# 两风险资产的投资组合

将上一研究进行一般化，基于研究两风险资产的投资组合。

假设两风险资产分别为 $D, E$, 所占权重分别为 $w_D, w_E = 1-w_D$, 其余记号同上。那么，容易计算其期望收益

$$\mathbb{E}(r_P) = w_D\mathbb{E}(r_D) + w_E\mathbb{E}(r_E),$$

及组合方差

$$\sigma_P^2 = w_D^2\sigma_D^2 + w_E^2\sigma_E^2 + 2w_Dw_E \mathrm{cov}(r_D, r_E).$$