title: 投资学笔记 (6)：期权、期货与其它衍生品
date: 2024-2-24
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• 金融数学
• 金融投资学
  math: true

# 期权定价

期权作为以行权价格买入或卖出的权利保证，本身需要价格维系，该价格称为期权费 (premium), 又译作权利金。对其进行估值，是金融衍生品估值的基础。

# 远期与期货定价

# 基本概念

# 价格与价值

以远期合约为例。远期价值 (value) 指远期合约内在的合理价值，而远期价格 (price) 指远期合约的理论交割价格。

例如，某合约规定交割价格 $10$, 交易数量为 $100$, 距离交割日还有 $1$ 年，则则其远期价格为 $K = 10 \times 100 = 1000$. 若该标的资产当前市场价格为 $15$, 无风险复利率为 $10\%$, 则该合约远期价值为

$$f = S - Ke^{-r(T-t)} = 15 \times 100 - 1000 \times e^{-0.1 \times 1} = 595.$$

因此，多头收益为 $595$ 元，对应空头亏损 $595$ 元。

由于合约是缔约双方共同是约定的，完成交割同时属于双方的权利和义务，因此合约缔结不需要额外成本（与仅拥有权利的期权不同）。因此，一个合理的定价需要使得合约的当前价值 $f = S_T - K = 0$, 即双方均不存在套利空间。

# 远期合约与期货合约的区别

Cox 证明，当无风险利率恒定且对所有到期日都相同时，交割日相同的远期价格和期货价格应相等。但利率变化时，远期与期货价格不再相等，这是远期合约与期货合约的交易方式决定的。

# 无收益资产远期合约的定价

# 无收益资产的无套利定价

无收益资产 (no-yield asset) 是指到期日前不产生现金流的资产，如实物和不产生红利的股票。此时不存在现金流对远期价格的影响，因此只需满足

$$f + Ke^{-r(T-t)} = S,$$

这表示交割价格现值及合约价值之和与标的资产现值相等。换句话说，合约价值就是标的资产现值与交割价格现值之差，即

$$f = S - Ke^{-r(T-t)}.$$

# 现货 - 远期平价定理

基于上述定理，远期合理价格 $F$ 就是使得合约价值 $f=0$ 对应的交割价格 $K$. 即

$$F = Se^{r(T-t)},$$

该结论称为现货 - 远期平价定理 (spot-forward parity).