# 背景

对于离散时间系统，每一时刻的信号都可以表示为信号函数的线性组合，即

$$x[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] \delta[n-k].$$

傅里叶提出，任何周期函数都可以表示为三角函数的组合。

# 离散傅里叶变换 DTFT

# 复指数序列

波的直观表示采用正弦函数和余弦函数进行，但由于正弦函数和余弦函数在相位移动和求导计算上的复杂。因此选择采用复指数序列表示周期离散时间信号，即

$$x_\omega[n] \coloneqq e^{j\omega n} = \cos(\omega n) + j \sin(\omega n), \quad \omega \in [-\pi, \pi].$$

其满足

$$e^{j\omega n} = e^{j(\omega + 2k\pi) n}, \quad \forall k \in \mathbb{Z}.$$

# 定义

离散时间傅里叶变换 (Discrete-Time Fourier Transform, DTFT) 为将序列表示为复指数序列的加权和的变换，又称分析式：

$$X(e^{j\omega}) \coloneqq \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\omega n}, \quad \omega \in [-\pi, \pi].$$

其逆变换，即离散时间傅里叶逆变换 (Inverse Discrete-Time Fourier Transform, IDTFT) 为将复指数序列的加权和表示为序列的变换，又称综合式：

$$x[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} X(e^{j\omega}) e^{j\omega n} \mathrm{d}\omega.$$

下面我们证明，上述给出的 IDTFT 公式确是 DTFT 的逆变换。

$$\begin{aligned} x[n] & = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} X(e^{j\omega})e^{j\omega n} \mathrm{d}\omega \\ & = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \left(\sum_{l=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega l}\right)e^{j\omega n} \mathrm{d}\omega \\ & = \sum_{l=-\infty}^{\infty}x[l] \left( \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{j\omega (n-l)} \mathrm{d}\omega \right) \\ & = \sum_{l=-\infty}^{\infty}x[l] \frac{\sin(\pi (n-l))}{\pi (n-l)} \\ & = \sum_{l=-\infty}^{\infty}x[l] \delta[n-l] \\ & = x[n]. \end{aligned}$$

其中，此处 $n=l$ 时，用到了 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$.

# 与 FT 的关系