# 背景

对于离散时间系统，每一时刻的信号都可以表示为信号函数的线性组合，即

$$x[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] \delta[n-k].$$

傅里叶提出，任何周期函数都可以表示为三角函数的组合。

# 离散傅里叶变换 DTFT

# 复指数序列

波的直观表示采用正弦函数和余弦函数进行，但由于正弦函数和余弦函数在相位移动和求导计算上的复杂。因此选择采用复指数序列表示周期离散时间信号，即

$$x_\omega[n] \coloneqq e^{j\omega n} = \cos(\omega n) + j \sin(\omega n), \quad \omega \in [-\pi, \pi].$$

其满足

$$e^{j\omega n} = e^{j(\omega + 2k\pi) n}, \quad \forall k \in \mathbb{Z}.$$

# 定义

离散时间傅里叶变换 (Discrete-Time Fourier Transform, DTFT) 为将序列表示为复指数序列的加权和的变换，又称分析式：

$$X(e^{j\omega}) \coloneqq \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\omega n}, \quad \omega \in [-\pi, \pi].$$

其逆变换，即离散时间傅里叶逆变换 (Inverse Discrete-Time Fourier Transform, IDTFT) 为将复指数序列的加权和表示为序列的变换，又称综合式：

$$x[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} X(e^{j\omega}) e^{j\omega n} \mathrm{d}\omega.$$

下面我们证明，上述给出的 IDTFT 公式确是 DTFT 的逆变换。

$$\begin{aligned} x[n] & = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} X(e^{j\omega})e^{j\omega n} \mathrm{d}\omega \\ & = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \left(\sum_{l=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega l}\right)e^{j\omega n} \mathrm{d}\omega \\ & = \sum_{l=-\infty}^{\infty}x[l] \left( \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{j\omega (n-l)} \mathrm{d}\omega \right) \\ & = \sum_{l=-\infty}^{\infty}x[l] \frac{\sin(\pi (n-l))}{\pi (n-l)} \\ & = \sum_{l=-\infty}^{\infty}x[l] \delta[n-l] \\ & = x[n]. \end{aligned}$$

其中，此处 $n=l$ 时，用到了 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$.

# 与 FT 的关系

# 收敛性

对 DTFT 变换 $X(e^{j\omega}) = \sum_{-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j \omega n}$, 定义 $X_K(e^{j\omega}) = \sum_{-K}^{K}x[n]e^{-j \omega n}$, 则 $X_K(e^{j\omega})$ 是 $X(e^{j\omega})$ 的部分和，其收敛性如下：

• 一致收敛：即需满足 Dirichlet 条件，

  $$\lim_{K \to \infty} X_K(e^{j\omega}) = X(e^{j\omega}).$$

• 均方收敛：即

  $$\lim_{K \to \infty} \int_{-\pi}^{\pi} |X_K(e^{j\omega}) - X(e^{j\omega})|^2 \mathrm{d}\omega = 0.$$

# 绝对可和序列的 DTFT 变换

满足 $\sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]| < \infty$ 的序列称为绝对可和序列。绝对可和序列的 DTFT 变换存在，且满足一致收敛条件。

# 平方可和序列的 DTFT 变换

满足 $\sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]|^2 < \infty$ 的序列称为平方可和序列。平方可和序列的 DTFT 变换存在，且满足均方收敛条件。

# 均方收敛的充分条件

若函数 $X(e^{j\omega})$ 的 IDTFT 等于序列 $x[n]$, 则必有 $x[n]$ 的 DTFT 均方收敛于 $X(e^{j\omega})$.

# DTFT 基本定理

# 线性定理

$$ax_i[n] + bx_2[n] \xleftrightarrow{} aX_i(e^{j\omega}) + bX_2(e^{j\omega}).$$

# 时移定理

$$x[n-n_0] \xleftrightarrow{} e^{-j\omega n_0}X(e^{j\omega}).$$

# 频移定理

$$e^{j\omega_0 n} x[n] \xleftrightarrow{} X(e^{j(\omega - \omega_0)}).$$

# 时间翻转定理

$$x[-n] \xleftrightarrow{} X(e^{-j\omega}).$$

# 共轭定理

$$x^*[n] \xleftrightarrow{} X^*(e^{-j\omega}).$$

# 频率微分定理

# 卷积定理

# 帕塞瓦尔定理

# 差分累加定理

# 经典序列的 DTFT