# 结构

# 数学基础

简单介绍了一下向量、矩阵、加法、数乘、内积、行列式、正交矩阵、对角化、SVD 分解、赋范线性空间、希尔伯特空间等等含义。

我们 AI 研究的空间都是 Hilbert 空间内的，因此空间都具有良好的性质。

# 结构的表示

如何去表示一个结构：

• 网格 (grids)
• 集合 (set)
• 图 (graph)
• 流形 (manifold)

# 信号

一个信号 (signal) 是一个函数 $x: \Omega \to \mathcal{C}$, 其中

• $\Omega$ 是定义域
• $\mathcal{C}$ 是向量空间，其各个维度称作各个通道 (channels).

相同定义域和通道的全体信号组成的空间即信号空间

$$\mathcal{X}(\Omega, \mathcal{C}) = \{x: \Omega \to \mathcal{C}\}.$$

# 几何域上的场

一个场 (field) 是一个定义域 $\Omega$ 到特征空间 $\mathcal{C}_u$ 的映射 $x:\Omega \to \mathcal{C}_u$, 其中：

• $\mathcal{C}_u$ 是一个依附于定义域上点 $u$ 的特征空间（纤维）。

# 对称性与群论

# 对称性

某物体的对称性 (symmetry) 是指该物体在某种变换 $g$ 下的某性质 $p$ 保持不变，即

$$p(g(u)) = p(u).$$

下面来举几个例子：

• 正三角形中的对称性：将正三角形旋转 $120^\circ$ 或绕对称轴翻转后，正三角形的形状保持不变。
• 参数化中的对称性：对于多层全连接神经网络，将中间层神经元的顺序打乱，输出仍保持不变。
• 标签函数的对称性：对于分类问题，将输入图片进行旋转，输出标签仍保持不变。狗狗转半圈还是狗狗。
• 集合中的对称性：集合中的元素关于排列对称。
• 欧式空间中刚体变换的对称性：在欧式空间中，对物体作刚体变换，则距离、角度等性质保持不变。

在使用机器学习解决分类问题的过程中，对类别的学习就是对对称性的学习。

# 对称群

对给定的物体，所有保持其对称性的变换组成的集合称为该物体的对称群 (symmetry group). 注意到：

• 恒等变换始终是一种对称
• 对称的复合也是对称
• 对称的逆也是对称

# 群

将两个变换之间的二元运算记作 $\cdot: G \times G \to G$. 一个群是满足下列条件的变换的几何：

1. 闭包 (closure): $\forall a,b \in G, a \cdot b \in G$
2. 结合律 (associativity): $\forall a,b,c \in G, (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
3. 单位元 (identity element): $\exists e \in G, \forall a \in G, e \cdot a = a \cdot e = a$
4. 逆元 (inverse element): $\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e$

# 群作用

假设 $G$ 是一个群，$\Omega$ 是一个几何域，则一个（左）群作用 (group action) 记作 $g \cdot u, \forall g \in G, u \in \Omega$. 群作用满足结合律，即

$$h\cdot(g \cdot u) = (h \cdot g) \cdot u.$$

# Cayley 图和表格

简单的群运算可以用 Cayley 图或表格表示，就是一个类似九九乘法表的运算表。

# 一些特殊的群

• 二面体群
• 对称群
  • p4 对称群
  • p4m 对称群

# 群表示

# 不变和等变函数