# Physics-informed Leaerning

对一个系统，其建模包括两种方式：

• Physics-based Modeling: 基于物理方程进行建模。
• Deep Learning: 基于数据进行建模。

如果数据不够多，物理方程也不够充分，那么该怎么进行 trade-off?

# 动力系统

# 离散动力系统

离散动力系统 (discrete dynamical system) 使用 ODE 进行建模。

最简单的是一阶常微分方程描述的一阶动力系统：

$$\dot{y} = f(y, u).$$

如果 $u=0$, 则称为自治系统 (autonomous system), 否则称为非自治系统 (non-autonomous system).

二阶动力系统

$$\ddot{y} = f(y, \dot{y}, u).$$

二阶动力系统的常见例子是牛顿方程。这里如果令 $\dot{y} = z$, 则可以转化为一个一阶系统：

$$\dot{\bm{Z}} = F(\bm{Z}, u, t).$$

其中 $\bm{Z} = (y,z)^\top, z = \dot{y}$. 因此二阶系统也可以看作一阶系统。

# 连续动力系统

连续动力系统 (continuous dynamical system) 使用 PDE 进行建模。可以分为两种情况：

• Steady State PDEs:
• Spatio-temporal PDEs: