# 概述

这是一个辅修期末考试复变函数复习前的简单笔记，涵盖内容不多，深度也较浅，仅仅作为一个简单的参考。

# 复数和复变函数

# 复数的基本概念和运算

复数的定义如同寻常。最基本的形式是代数形式，即 $z = x+yi$, 其中 $x\triangleq\mathrm{Re}z$, 称为实部，$y\triangleq\mathrm{Im}z$, 称为虚部。在补充规则 $i^2=-1$ 的条件下，可以进行基本的四则运算。因此，复数域是可以简单看作实数域的扩张。

复数的另一个表示方式是采用几何形式。即将 $z=x+yi$ 与平面上的点 $(x,y)$ 作一一对应 ($\mathbb{C} \to \mathbb{R}^2$). 此时称平面为复平面。

在建立几何形式后，由于平面点存在极坐标表示，因此就对应着复数的一种新的表示方式，即三角形式。一般表示为

$$z=r(\cos \theta + i\sin \theta)$$

其中 $\theta$ 是 $z$ 的一个幅角，其全体幅角为

$$\mathrm{Arg} z:=\{\theta+2k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$$

幅角中位于 $(-pi, \pi]$ 的称为幅角主值，记作 $\arg z$. 值得注意的是，$z=0$ 的幅角无意义。

三角形式下的乘除计算简单，这主要归功于棣莫弗公式，即

$$(\cos \theta + i\sin \theta)(\cos \phi + i\sin \phi) = \cos(\theta+\phi) + i\sin(\theta + \phi)$$

这个公式也可以写成更好看的形式，不过究其根本也就是这样。

复数的开方具有多解。这不同于正实数的算术解规定，不再存在一个特殊的解作为算术平方根。

# 复变函数

# 基本概念

对定义域 $E\subseteq\mathbb{C}$, (单) 复变函数是一个映射 $f: E \to \mathbb{C}$, 即函数是单值的。多复变函数是一个 $E \to 2^\mathbb{C}$ 的映射，即函数是多值的。

如果采用代数形式看复变函数，那么其可以简单分解为两个实值函数的组合。即 $w=f(z) = \mathrm{Re}f(z) + \mathrm{Im}f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$.

我们可以从拓扑的视角看复变函数，因为复变函数是一个平面到平面的变换。

# 极限和连续性

由于复变函数可以看作两个实变函数的组合 (或许说成笛卡尔积也比较合适)。于是复变函数的极限存在当且仅当其实部和虚部都存在极限。同样地，复变函数连续当且仅当其实部和虚部在相同区间内都对应连续。

# 导数

复变函数导数的定义与实值函数相同。若$f$ 在定义域$D$ 内处处可导，则称其为解析函数。实值函数的各种求导法则此处仍然适用。

# 可导的必要条件

复变函数可导的充要条件即复变函数导数的定义也即在对应点处各个方向的方向导数都存在。其中一个必要条件是在实轴和虚轴方向上的方向导数存在，表示为

$$\frac{\partial f}{\partial x} = -i\frac{\partial f}{\partial y}$$

即

$$\left\{\begin{aligned} & \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\ & \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \end{aligned}\right.$$

上述方程称为柯西 - 黎曼方程。

此时还有

$$\left|f'(z)\right|^2 = \left|\begin{matrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y}\\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y}\\ \end{matrix}\right|$$

# 初等解析函数

# 指数函数

指数函数 $e^x$ 在复平面内进行解析延拓定义，定义为

$$e^{x+iy} = e^x(\cos y+i\sin y)$$

# 三角函数

采用指数函数，可以得到 $e^{iy} = \cos y+i\sin y$ 及 $e^{-iy}=\cos y-i\sin y$. 于是定义

$$\sin z = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}, \quad \cos z=\frac{e^{iz}+e{-iz}}{2}$$

于是，三角函数的值域是 $\mathbb{R}$.

# 复变函数的积分

# 基本概念

例：求证

$$\int_C\frac{\mathrm dz}{(z-a)^n}= \left\{\begin{aligned} & 2\pi i, & n=1 \\ & 0, & n\neq 1 \end{aligned}\right.$$

# 柯西积分定理

设函数$f(z)$ 在复平面上的单连通区域$D$ 内解析，$C$ 为$D$ 内任一条周线，则

$$\int_Cf(z)\mathrm dz = 0$$

推论：设$C$ 是一条周线，$D$ 为$C$ 之内部，函数$f(z)$ 在闭域$\bar D=D+C$ 上解析，则

$$\int_C f(z) \mathrm dz = 0$$

# 柯西积分公式

设区域$D$ 的边界是周线 (或复周线)$C$, 函数$f(z)$ 在$D$ 内解析，在$\bar D=D+C$ 上连续，则有

$$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta$$

# 解析函数平均值定理

如果函数$f(z)$ 在圆$|\zeta-z_0|<R$ 内解析，在闭圆$|\zeta-z_0|\leq R$ 上连续，则

$$f(z_0) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(z_0+Re^{i\varphi})\mathrm{d}\varphi$$

即$f(z)$ 在圆心$Z_0$ 的值等于它在圆周上的值的算术平均数．

# 柯西不等式

设函数$f(z)$ 在区域$D$ 内解析，$a$ 为$D$ 内一点，以$a$ 为心作圆周$\gamma:|\zeta-a|=R$, 只要$\gamma$ 及其内部$K$ 均含于$D$, 则有

$$|f^{(n)}(a)| \leq \frac{n!M(R)}{R^n},\quad M(R) = \max_{|z-a|=R}|f(z)|, \; n=1,2,\dots$$

# 刘维尔定理

有界整函数$f(z)$ 必为常数。

# 复级数

# 复级数的基本性质

设函数$f_n(z), n=1,2,\dots$ 定义于区域$D$ 内，若级数$\left\{\sum_{k=1}^nf_k(z)\right\}_{n=1}^\infty$ 在$D$ 内任一有界闭集上一致收敛，则称此级数在$D$ 内内闭一致收敛.

一致收敛强于内闭一致收敛。

# 解析函数的洛朗展式和孤立奇点

对双边幂级数

$$\sum_{n=-\infty}^\infty c_n(z-a)^n$$

若其在收敛圆$|z-a|<R$ 内收敛，则