# 基本概念

命题逻辑是基于命题实现推理的代数系统。

# 命题

可判断真伪的陈述句称为命题 (proposition). 需要注意的是，作为基本概念，命题不存在一个完整、规范的定义。

# 命题变元和命题常元

研究命题的普遍性质时，将命题抽象为未知变量，称为命题变元，通常采用字母 $p, q, r$ 等表示。

对于确定的真命题，用 $1$ 表示；对于确定的假命题，用 $0$ 表示，两者统称命题常元。

这样，命题常元和命题变元就是定义在 $\mathbb{Z}_2$ 上的已知量和未知量。

# 命题的运算

# 真值函数

函数 $f:\mathbb{Z}_2^n \to \mathbb{Z}_2$ 称为 $n$ 元真值函数。

命题的运算是特殊的真值函数。

命题的基本运算包括：

1. 否定 ($\neg$)：$\neg v \coloneqq 1-v$.
2. 合取 ($\land$)：$v_1 \land v_2 \coloneqq v_1v_2$.
3. 析取 ($\lor$)：$v_1 \lor v_2 \coloneqq (1-v_1)(1-v_2)$.
4. 蕴含 ($\to$)：$v_1 \to v_2 \coloneqq 1 - v_1 + v_1v_2$.
5. 等价 ($\leftrightarrow$)：$v_1 \land v_2 \coloneqq v_1v_2 + (1-v_1)(1-v_2)$.

其中，第一种运算为单元运算，其余为二元运算。

# 合式公式

合式公式 (well formed formula, wff) 采用归纳定义：

1. 命题变元、命题常元是合式公式；
2. 若 $A, B$ 是合式公式，则 $(\neg A)$, $(A \land B)$, $(A \lor B)$, $(A \to B)$, $(A \leftrightarrow B)$ 是合式公式；
3. 基于规则 1 , 2 有限次迭代得到的公式是合式公式。