# 积分变换

通过积分将函数从原始函数空间映射到另一个函数空间。

# 傅里叶变换

傅里叶变换 (Fourier Transform, FT) 是将时域信息转换为频域信息的变换。

函数系 $\{1,\cos nx\, \sin nx \}_{n=1}^\infty$ 是一个正交函数系。这意味着其中任意两项 $f_i, f_j$ , 有

$\int_{-\pi}^\pi f_i(x) f_j(x) \mathrm dx = 0$

如果用复数表示，那就是 $\{e^{-2\pi inx}\}_{n=0}^\infty$ 是正交函数系。积分区间为 $[0,1]$ .

不连续函数点的傅里叶展开会出现振幅不收敛的情况，这种现象称为 Gibbs 现象。Gibbs 现象是小波变换产生的原因。

傅里叶变换借助正弦波分析周期信号，而小波变换则不然。小波是一种能量在小段时域内特别集中的波，因而可以用来分析瞬时时变信号。

小波变换的展开形式为

$f(t) = \sum_k\sum_j a_{j,k}\psi_{j,k}(t)$

其中 $\psi_{j,k}(t)$ 是小波级数。

如果一个函数 $\psi \in L^2(\mathbb{R})$ 可以被用来定义希尔伯特空间内的正交基，那么称这个函数为一个规范正交小波 (orthonormal wavelet).

$\psi_{j,k}(x) = 2^{j/2}\psi(2^jx-k)$

Haar 小波变换 (Haar wavelet) 是最简单的一种小波变换。