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# 群作用

# 定义

我们定义群 GG 对一个集合 SS 的作用 (action) 是一个 (⋅,⋅):G×S→S(\cdot, \cdot):G \times S \to S 的映射。对 g∈Gg \in G 及 s∈Ss \in S, 我们记其映射为 (g,s)→gs(g,s) \to gs. 该映射需要满足下列两个要求：

  1. ∀s∈S,1s=s\forall s \in S,\,1s=s;
  2. ∀g1,g2∈G,s∈S,(g1g2)s=g1(g2s)\forall g_1,g_2 \in G, s \in S,\,(g_1g_2)s = g_1(g_2s).

我们通常如何给出一个 G×S→SG \times S \to S 的映射？一个方法是，SS 取一个群（例如取 S=GS = G）；另一个方法是根据凯莱定理，任何群 GG 同构于某个置换群，于是取 SS 为一个含有 nn 个元素的集合 N={1,2,…,n}N = \{1,2,\dots,n\}, 考虑群 GG 在其上的一个置换。

# 举例

对于对称群 SnS_n 及集合 In={1,2,…,n}I_n = \{1,2,\dots,n\}, ∀σ∈Sn,x∈In\forall \sigma \in S_n, x \in I_n，我们说 (σ,x)→σ(x)(\sigma,x) \to \sigma(x) 是一个 SnS_n 对 InI_n 的作用。

对 nn 阶一般线性群 GLn(R)\mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) 及 nn 维向量组成的集合 Rn\mathbb{R}^n, ∀A∈GLn(R),α∈Rn\forall A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R}),\,\alpha \in \mathbb{R}^n, 我们说 (A,α)→Aα(A, \alpha) \to A\alpha 是 GLn(R)\mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) 对 Rn\mathbb{R}^n 的一个作用。

对群GG，我们定义GG 对其本身的作用为(g,x)=gx,∀g,x∈G(g,x) = gx,\,\forall g,x \in G。该作用称为群对自身的左平移作用或左正则作用。类似地，对群GG，我们定义其对本身的作用(g,x)=xg−1,∀g,x∈G(g,x) = xg^{-1},\,\forall g,x \in G。该作用称为群对自身的右平移作用或右正则作用。

对群 GG, 我们定义群 GG 到自身的一个作用为 (g,x)=gxg−1(g,x) = gxg^{-1}. 该作用称为群对自身的共轭作用。

# 轨道

给定一个群作用 G×S→SG \times S \to S, 可以在 SS 上定义一个二元关系 ∼\sim, 满足 s1∼s2⇔∃g∈Gs_1 \sim s_2 ⇔ \exists g\in G 使得 g(s1)=s2g(s_1) = s_2.

显然，关系 ∼\sim 具有反身性、对称性、传递性。于是 ∼\sim 是一个等价关系。该等价关系在 SS 上的一个等价类称为一个轨道 (orbit). 代表元 ss 所在的轨道记作 Orb(s)\mathrm{Orb}(s). 轨道中元素的个数称为轨道的长，记作 ∣Orb(s)∣|\mathrm{Orb}(s)|.

此外，我们也可以定义轨道 Orb(s)={gs∣g∈G}\mathrm{Orb}(s) = \{gs|g \in G\}. 容易验证，这两个定义是等价的。

对于 GG 对本身的左正则作用，有 ∀x,y∈G,∃g=yx−1\forall x,y \in G,\,\exists g = yx^{-1} 使得 gx=ygx = y, 于是 Orb(x)=G\mathrm{Orb}(x) = G. 类似地，若 SS 在 GG 的作用下只有一个轨道，那么称 GG 在 SS 上传递或可迁 (transitive).

# 不动点和稳定子群

设 g∈Gg \in G，s∈Ss \in S，若 g(s)=sg(s) = s, 则称ss 是gg 的一个不动点 (fix point)。以ss 为不动点的所有群元素的集合称为ss 的一个稳定子群或稳定化子，记作Stab(s)={g∈G∣gs=s}\mathrm{Stab}(s) = \{g \in G|gs = s\}。

下面我们证明GG 的一个稳定子群Stab(s)\mathrm{Stab}(s) 是GG 的一个子群，即定义的合理性。

证明易知e∈Stab(s)e \in \mathrm{Stab}(s)，于是Stab(s)\mathrm{Stab}(s) 非空。对∀g1,g2∈Stab(s)\forall g_1, g_2 \in \mathrm{Stab}(s)，g1g2s=g1(g2s)=g1s=sg_1g_2s = g_1(g_2s) = g_1s = s，于是Stab(s)≤G\mathrm{Stab}(s) \leq G。

对轨道和稳定子群，有一些基本的性质：

性质 1 ∣Orb(s)∣=[G:Stab(s)]|\mathrm{Orb}(s)| = [G:\mathrm{Stab}(s)]，称为轨道公式。

证明 简记Stab(s):=H\mathrm{Stab}(s):=H，构造一个GG 关于HH 的左陪集的集合到ss 的轨道上的映射φ:gH↦gs\varphi:gH \mapsto gs。只需要证明φ\varphi 是双射。

先证明φ\varphi 是良定义的。取g1,g2∈G,g1H=g2Hg_1, g_2 \in G,\,g_1H = g_2H，则存在h∈Hh \in H 使得g1=g2hg_1 = g_2h，于是g1s=g2hs=g2(hs)=g2sg_1s = g_2hs = g_2(hs) = g_2s (因为h∈Stab(s)h \in \mathrm{Stab}(s))。

又若g1(s)=g2(s)g_1(s) = g_2(s)，则g2−1g1s=sg_2^{-1}g_1s = s，即g2−1g1∈Hg_2^{-1}g_1 \in H。则g2H=g2(g2−1g1)H=g1Hg_2H = g_2(g_2^{-1}g_1)H = g_1H，于是其为单射。

根据Orb(s)\mathrm{Orb}(s) 的定义，其为满射。于是φ\varphi 为双射。则轨道公式成立。

推论∣S∣=∑s∈S[G:Stab(s)]|S| = \sum_{s\in S}[G:\mathrm{Stab}(s)]。

性质 2 同一轨道中各元素的稳定子群相互共轭。

证明 对任意s1,s2∈Ss_1,s_2 \in S，存在x∈Gx \in G 使得s2=xs1s_2 = xs_1，于是对g∈Stab(s2)g \in \mathrm{Stab}(s_2)，有xs1=s2=gs2=gxs1xs_1 = s_2 = gs_2 = gxs_1，则s1=x−1gxs1s_1 = x^{-1}gxs_1。于是x−1gx∈Stab(s1)x^{-1}gx \in \mathrm{Stab}(s_1)。于是Stab(s2)=x−1Stab(s2)x\mathrm{Stab}(s_2) = x^{-1}\mathrm{Stab}(s_2)x，即两稳定子群相共轭。