直到他们变得有反抗意识之前，他们永远不会反抗；而且直到他们遂行反抗之前，他们不可能变得有反抗意识。

这篇笔记是关于一阶线性微分方程组的问题。

# 基本概念和记号

# 一阶微分方程组

首先，需要明确一阶微分方程组的相关概念和记号。

我们称形如$y' = f(x,y)$ 的微分方程为一阶微分方程，因为其中变量的最高阶导数为一阶导数。如果变量的数目增加，且约束条件增加，例如

$$\left\{ \begin{matrix} y_1' = f_1(x,y_1,y_2,\dots,y_n) \\ y_2' = f_2(x,y_1,y_2,\dots,y_n) \\ \cdots \\ y_n' = f_n(x,y_1,y_2,\dots,y_n) \end{matrix} \right.$$

是一阶微分方程组的一般形式。

若等式右侧的函数关系中均不含$x$, 那么称这样的一阶微分方程组是自治的。可以看出，是否含$x$ 并不显著影响方程组的求解方法，因为自治形式同样属于一般形式。

一阶微分方程组的通解可以表示为

$$\left\{ \begin{matrix} y_1 = \varphi_1(x,C_1,C_2,\dots, C_n)\\ y_2 = \varphi_2(x,C_1,C_2,\dots, C_n)\\ \cdots \\ y_n = \varphi_n(x,C_1,C_2,\dots, C_n)\\ \end{matrix} \right.$$

其中，$C_i$ 为常数。

一般情况下，采用向量和矩阵简化微分方程组的表示。例如$Y(x):= (y_1(x), \dots, y_n(x))'$, $F(x,Y) := \big(f_1(x,y_1,\dots, y_n), \dots, f_n(x,y_1,\dots, y_n)\big)'$. 向量对某一变量的导数和积分定义为其中各分量分别积分。于是，前述的一阶微分方程组的一般形式可以表示为

$$\frac{\text d\boldsymbol{y}}{\text dx} = \boldsymbol{f}(x,\boldsymbol{y})$$

# 一阶线性微分方程组

在一阶微分方程组中，如果右侧函数$f_i(x,y_1,y_2,\dots ,y_n)$ 中各$y_i$ 关于$f_i$ 都是线性的，那么称其为一阶线性微分方程组。其一般形式为

$$\left\{ \begin{matrix} y_1' = a_{11}y_1 + a_{12}y_2 + \cdots + a_{1n}y_n + f_1(x)\\ y_2' = a_{21}y_1 + a_{22}y_2 + \cdots + a_{2n}y_n + f_2(x)\\ \cdots \\ y_n' = a_{n1}y_1 + a_{n2}y_2 + \cdots + a_{nn}y_n + f_n(x)\\ \end{matrix} \right.$$

简记为

$$\frac{\text d\boldsymbol{y}}{\text dx} = A(x)\boldsymbol{y} + \boldsymbol{f}(x)$$

若$\boldsymbol{f}(x) = \boldsymbol{O}$, 即

$$\frac{\text d\boldsymbol{y}}{\text dx} = A(x)\boldsymbol{y}$$

则称该方程组为一阶齐次线性方程组。

# 解的基本性质

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