扣舷独啸，不知今夕何夕。

# 拓扑空间的基本概念

# 拓扑空间

# 定义

设 $X$ 是一个集合， $\tau$ 是 $X$ 的一个子集族，若 $\tau$ 满足：

$X, \varnothing \in \tau$ .
若 $A, B \in \tau$ , 则 $A \cap B \in \tau$ .
若 $\tau_1 \subseteq \tau$ , 则 $\cup_{A \in \tau_1}A \in \tau$ .

则称 $\tau$ 是 $X$ 的一个拓扑 (topology), 并称 $(X,\tau)$ 是一个拓扑空间 (topological space). 上述三个条件称为拓扑公理。

换句话说，拓扑空间实际上是一个配对，基于集合 $X$ 给出子集族 $\tau$ 以满足拓扑条件。

需要注意这里拓扑空间的定义，有限多成员的交在 $\tau$ 中，任意多成员的并在拓扑 $\tau$ 中。

# 例子

基于上述拓扑公理，下述两种拓扑是容易构造的：

对任一集合 $X$ , $\{X, \varnothing\}$ 是 $X$ 上的拓扑，称为 $X$ 的平凡拓扑。
对任一集合 $X$ , $2^X$ 是 $X$ 上的拓扑，称为 $X$ 的离散拓扑。

实际上，对于给定的 $X$ , 上述两拓扑实际上是针对 $X$ 的最小和最大的拓扑。对于两拓扑空间 $(X, \tau_1)$ 和 $(X, \tau_2)$ , 如果 $\tau_1 \subset \tau_2$ , 那么我们称 $\tau_2$ 是更加精细的。面对不同的研究对象，我们需要选取合适粒度的拓扑。

下面，再给出几种常见的拓扑构造：

设 $X$ 是无穷集， $\tau_f = \{A^c|\,|A|<\infty\} \cup \{\varnothing\}$ 是 $X$ 的一个拓扑，称为 $X$ 上的余有限拓扑 (cofinite topology), 即余集为有限集的全体组成的拓扑。

设 $X$ 是不可数无穷集， $\tau_c = \{A^c|A \subseteq X, A \ \text{is countable}\}\cup\{\varnothing\}$ 也是 $X$ 的拓扑，称为 $X$ 上的余可数拓扑，即余集为可数集的全体组成的拓扑。

$\tau_e = \{U|U = \bigcup_{i=1}^n (a_i, b_i), a_i < b_i, n \in \mathbb{N}\}$ （即 $U$ 是若干开区间的并集）是 $\mathbb R$ 上的拓扑，称为 $\mathbb R$ 上的欧式拓扑，记作 $\mathbb E^1 = (\mathbb R, \tau_e)$ .

$A^c \coloneqq X \setminus A$ 称为 $A$ 的余集，即全集与 $A$ 的差集。

# 度量空间与度量拓扑

# 度量空间

集合 $X$ 上的一个度量 (metric) 是一个满足如下三个条件的映射 $d: X \times X \to \mathbb R$ :

正定性： $d(x,x) = 0, \forall x \in X$ , $d(x,y) > 0, \forall x,y \in X, x \neq y$ .
对称性： $d(x,y) = d(y,x), \forall x,y \in X$ .
三角不等式： $d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z), \forall x,y,z \in X$ .

规定了度量 $d$ 的集合 $X$ 称为一个度量空间 (metric space).

例如，对于 $\mathbb{R}^n$ , 我们可以定义通常的距离概念：

$d((x_1,x_2,\dots,x_n), (y_1, y_2,\dots,y_n)) = \sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i - y_i)^2}$

容易验证， $d$ 是一个度量。我们称该度量空间 $(\mathbb{R}^n, d)$ 为 $n$ 维欧式空间，记作 $E^n$ .

# 度量拓扑

在度量空间 $X$ 中，我们定义

$B(x_0,\varepsilon):=\{x \in X|d(x_0,x) < \varepsilon\}$

是以 $x_0$ 为球心， $\varepsilon$ 为半径的球形邻域。

可以证明 $(X,d)$ 的任意两个球形邻域的交集是若干球形邻域的并集。

若干也可以是不可数若干，因此对于在两球形邻域交集中的每一个点 $x$ , 构造一个以 $x$ 为球心且不超出该交集的半径的球形邻域即可完成构造。

因此，规定 $\tau_d := \{U|U = \bigcup B(x, \varepsilon_x)\}$ . 根据上述证明， $\tau_d$ 是一个拓扑，称之为度量拓扑.

# 拓扑空间内的研究对象

# 开集和闭集

对于拓扑空间 $(X,\tau)$ , 我们称 $\tau$ 中的元素为该拓扑空间的开集。对拓扑空间 $X$ 中的集合 $A$ , 若 $A^c$ 是开集，那么称 $A$ 为闭集。显然，在拓扑空间 $X$ 中， $X$ 和 $\varnothing$ 是满足既是开集也是闭集的集合。

通过拓扑公理和 De Morgan 律，我们容易推出闭集的两个基本性质：

任意多个闭集的交还是闭集
有限多个闭集的并是闭集

# 邻域

设 $A$ 是拓扑空间 $X$ 中的一个子集，点 $x \in A$ , 若存在开集 $U$ 使得 $x \in U \subseteq A$ , 则称 $x$ 是 $A$ 的一个内点 (interior point), 称 $A$ 是 $x$ 的一个邻域 (neigborhood). $A$ 的所有内点组成的集合称为 $A$ 的内部 (interior), 记作 $\mathring A$ 或 $A^\circ$ .

关于邻域和内部，有以下较显然的性质：

若 $A \subset B$ , 则 $\mathring A \subset \mathring B$
$\mathring A$ 是包含在 $A$ 中的所有开集的并集，因此是包含在 $A$ 中的最大开集
$\mathring A = A$ 等价于 $A$ 是开集
$(A \cap B)^\circ = \mathring A \cap \mathring B$
$(A \cup B)^\circ \supset \mathring A \cup \mathring B$

# 聚点和闭包

设 $A$ 是拓扑空间 $X$ 的子集， $x \in X$ . 若 $x$ 的每个邻域都含有 $A \setminus \{x\}$ 中的点，则称 $x$ 是 $A$ 的聚点。 $A$ 的所有聚点的集合称为 $A$ 的导集，记作 $A'$ , 称集合 $\bar A := A \cup A'$ 为 $A$ 的闭包，也记作 $\text{cl}(A)$ .

根据聚点和闭包的定义，我们可以立刻得到下面的性质：

若拓扑空间 $X$ 的子集 $A$ 和 $B$ 互为余集，则 $\bar A$ 和 $\mathring B$ 也互为余集。
若 $A \subset B$ , 则 $\bar A \subset \bar B$ .
$\bar A$ 是所有包含 $A$ 的闭集的交集，即是包含 $A$ 的最小闭集。
$\bar A = A$ 等价于 $A$ 是闭集。
$\overline{A \cup B} = \bar A \cup \bar B$ .
$\overline{A \cap B} \subset \bar A \cap \bar B$ .

# 稠密

拓扑空间 $X$ 的子集 $A$ 称为稠密的，当且仅当 $\bar A = X$ . 若 $X$ 的稠密子集是可数的，那么称 $X$ 为可分拓扑空间。

# 子空间

$A$ 是拓扑空间 $(X, \tau)$ 的一个非空子集，规定 $A$ 的子集族

$\tau_A:=\{U \cap A| U \in \tau\}$

容易验证 $\tau_A$ 是 $A$ 上的一个拓扑，称为 $\tau$ 导出的 $A$ 上的子空间拓扑，称 $(A, \tau_A)$ 为 $(X,\tau)$ 的子空间。

# 拓扑空间的序关系

对于拓扑空间 $(X,\tau)$ 内的两个元素 $x, y$ , 我们可以定义其特殊化预序 (specialization preorder) $x \leq y$ 当且仅当 $\bar{x} \leq \bar y$ . 可以证明，满足该条件的关系是一个预序关系，即满足自反性和传递性。

# 拓扑中的连续性

# 连续的定义

定义设 $X$ 和 $Y$ 都是拓扑空间， $f:X \to Y$ 是一个映射， $x \in X$ . 如果对于 $Y$ 中 $f(x)$ 的任一邻域 $V$ , $f^{-1}(V)$ 总是 $x$ 的邻域，则说 $f$ 在 $x$ 处连续。若在任一点 $x \in X$ 处 $f$ 都连续，那么称 $f$ 是连续映射。

值得注意的是，在拓扑空间中，连续的概念可能与直观并不完全一致。例如我们取一个连续映射

$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^2$

显然 $f(2) = 4$ . 此时取 $V = (4-\varepsilon, 4+\varepsilon), \;\varepsilon>0$ 是 $f(2)$ 的一个邻域，而

$f^{-1}(V) = (2-\varepsilon, 2+\varepsilon) \cup (-2-\varepsilon, -2+\varepsilon)$

这显然是拓扑意义下 $2$ 的一个邻域，然而这不同于欧式空间中我们所定义的邻域。尽管邻域的定义不同，但最终连续的结果是相同的。这是可以证明的。

# 连续映射的性质

性质 1 连续映射可以采用开集描述。对于映射 $f:X \to Y$ , 下面的三个条件相互等价：

$f$ 是连续映射
$Y$ 的任一开集在 $f$ 下的原像是 $X$ 的开集
$Y$ 的任一闭集在 $f$ 下的原像是 $X$ 的闭集

性质 2 离散拓扑上的映射是连续映射。映射到平凡拓扑的映射是连续映射。

性质 3 (复合映射的连续性) 设 $X,Y$ 和 $Z$ 都是拓扑空间，映射 $f:X \to Y$ 在 $x$ 处连续， $g : Y \to Z$ 在 $f(x)$ 处连续，则复合映射 $g \circ f:X \to Z$ 在 $x$ 处连续。

性质 4(粘接定理) 设 $\{A_1, A_2, \dots, A_n\}$ 是 $X$ 的一个有限闭覆盖．如果映射 $f:X \to Y$ 在每个 $A_i$ 上的限制都是连续的，则 $f$ 是连续映射。

这个定理看上去十分显然，但却是我们后续构造许多连续曲面的基础。

# 同胚映射

定义如果 $f:X \to Y$ 是双射，且 $f$ 及其逆 $f^{-1}: Y \to X$ 都是连续的，则称 $f$ 是一个同胚映射，或称拓扑变换，或简称同胚。当存在 $X$ 到 $Y$ 的同胚映射时，就称 $X$ 与 $Y$ 同胚，记作 $X \cong Y$ .

下面是几个同胚的例子。

例 1 开区间 (作为 $E^1$ 的子空间) 同胚于 $E^1$ .

例 2 以 $B^n$ 表示 $E^n$ 中的单位球，那么 $\mathring{B}^n \cong E^n$ .

例 3 以 $O$ 表示原点，那么 $E^n \setminus \{O\} \cong E^n \setminus B^n$ .

例 4 $S^2$ 删去一点后与 $E^2$ 同胚。实际上，这可以用复数的球面表示和代数表示作为映射方式。

例 5 任何包含内部的凸多边形相互同胚。一般地， $E^n$ 内的凸集相互同胚。这可以通过转化成基本的 $B^n$ 证明。

# 乘积空间

对于两拓扑空间 $(X_1, \tau_1), (X_2, \tau_2)$ , 我们希望构造一个 $X_1 \times X_2$ 上的最小拓扑，同时包含 $\tau_1$ 与 $\tau_2$ . 这实际上和线性空间的直和类似。我们定义如下：

对两拓扑空间 $(X_1, \tau_1), (X_2, \tau_2)$ , 我们称

$\overline{\mathscr{B}} = \{U_1 \times U_2|U_i \in \tau_i\}$

为 $X_1 \times X_2$ 上的乘积拓扑 (product topology), 并称 $(X_1 \times X_2, \overline{\mathscr{B}})$ 是 $(X_1, \tau_1)$ 与 $(X_2, \tau_2)$ 的乘积空间 (product space).

# 拓扑基

拓扑基同时是集合和拓扑空间上的概念，两者存在区别。对于集合 X, 其拓扑基是它的一个子集族 $\mathscr{B}$ , 使得 $\bar{\mathscr{B}}$ 是 $X$ 的一个拓扑；对于拓扑空间 $(X, \tau)$ , 其拓扑基 $\mathscr{B}$ 同样是 $X$ 的一个子集族，但是要求 $\bar{\mathscr{B}} = \tau$ .

# Ref

基础拓扑学讲义尤承业
sola 酱的笔记（感觉写的非常好 www）:
- 浅谈拓扑（一） - sola 的文章 - 知乎（定义）
- 浅谈拓扑（二） - sola 的文章 - 知乎（连续性）
- 浅谈拓扑（三） - sola 的文章 - 知乎（拓扑基）