# 离散时间信号
离散时间信号是从整数集到实数集 / 复数集的一个映射 x:Z→RorC. 显然,离散时间信号是自变量离散的,也就是一个序列。
# 分类
下面是几个重要的序列类型:
- 有限长序列:x[n]=0,∀n∈(−∞,N1],[N2,+∞).
- 右边序列:x[n]=0,∀n∈(−∞,,N1]. 若 N1≥0, 则又称为因果序列。
- 左边序列:x[n]=0,∀n∈[N2,+∞), 又称为非因果序列。
- 实序列:x[n]∈R,∀n.
- 复序列:x[n]∈C,∀n.
# 序列的性质
# 序列对称性
若复序列 x[n] 满足
x[n]=x∗[−n],∀n∈Z
则称 x[n] 是一个共轭对称序列 (conjugate symmetric sequence).
类似地,若复序列 x[n] 满足
x[n]=−x∗[−n],∀n∈Z
则称 x[n] 是一个共轭反对称序列 (conjugate antisymmetric sequence).
基于上述定义,容易发现:任意复序列 x[n] 都可以表示为一个共轭对称序列 xcs[n] 和一个共轭反对称序列 xca[n] 的和。
# 序列的周期性
若 ∃N<∞ 使得序列 x[n] 满足
x[n]=x[n+N],∀n,k∈Z
则称序列 x[n] 是一个周期序列 (periodic sequence), N 是 x[n] 的周期 (period).
需要注意的是,周期函数采样后得到的序列不一定是周期序列。例如 x[n]=Acos(ωn+ϕ). 当且仅当 ω/π∈Q 时为周期序列。这可以通过周期序列的定义证明。
# 典型序列
# 单位冲激序列
单位冲激序列 (unit impulse sequence) 定义为
δ[n]={1,0,n=0n=0.
# 单位阶跃序列
单位阶跃序列 (unit step sequence) 定义为
μ[n]={1,0,n≥0n<0.
于是,单位阶跃序列和单位冲激序列之间具有关系:
δ[n]=μ[n]−μ[n−1],μ[n]=k=−∞∑nδ[k]=m=0∑∞δ[n−m].
# 矩形窗序列
矩形窗序列 (rectangular window sequence) 定义为
w[n]={0,n<N1orn>N21,N1≤n≤N2.
# 序列的矢量表示与信号空间
一个长度为 N 的序列 x[n] 可以表示为一个 N×1 的列向量,即
x=⎣⎢⎢⎢⎢⎡x[0]x[1]⋮x[N−1]⎦⎥⎥⎥⎥⎤∈CN.
# 卷积
# 概念
对于两个实离散时间序列 x,h. 其卷积 (convolution) x∗h 定义为
(x∗h)[n]:=k=−∞∑∞x[k]h[n−k].
若 x,h 为复离散时间序列,则其卷积定义为
(x∗h)[n]:=k=−∞∑∞x[k]h∗[n−k].
# 性质
- 交换律:x∗h=h∗x;
- 结合律:(x∗h)∗g=x∗(h∗g);
- 分配律:x∗(h+g)=x∗h+x∗g;
- 数乘结合律:a(x∗h)=(ax)∗h;
- 复共轭:(x∗h)∗=x∗∗h∗.
# 互相关
两个复离散时间序列的互相关 (cross-correlation) x⋆h 定义为
(x⋆h)[n]:=k=−∞∑∞x[k]h∗[n−k].
# 性质
互相关不满足交换律、结合律。
互相关与卷积可以相互转化,即
x∗h=x⋆h′,
其中 h′[n]=h[−n],∀n∈Z.
序列对应项乘积的和一般可以使用 Cauchy-Schwarz 不等式证明。互相关操作同样如此,有
((x⋆h)[n])2≤((x⋆x)[n])((h⋆h)[n]).
需要注意的是,卷积神经网络 (CNN) 中的卷积操作实际上是互相关操作。