这部分是计量经济学不同于数理统计的主要部分，也是计量经济学的重点内容之一。

# 异方差性

# 概念

对多元线性回归模型

$$Y_i = \beta_0 + \sum_{j=1}^k\beta_kX_{ji} + \mu_i$$

若出现 $\mathrm{Var}(\mu_i) = \sigma_i^2 \neq 0$, 则认为出现异方差性 (Heteroskedasticity).

# 异方差性的检验

# 图示法

最基本的方式是采用$X-Y$ 散点图进行判断，如下图所示。
图示法检验异方差性

此外，还可以采用$X-\tilde{e}_i^2$ 散点图进行判断。若其形成斜率为$0$ 的直线，则表明是同方差的，否则为异方差的。

# 帕克检验与戈里瑟检验

帕克检验检验和戈里瑟检验 (Glejser test) 都试图建立$X$ 与$\tilde{e}_i^2$ 的函数关系，以说明异方差性。若构建方程

$$\tilde{e}_i^2 \sim f(X) + \varepsilon_i$$

则称为帕克检验 (Park test). 若构建方程

$$|\tilde{e}_i| \sim f(X) + \varepsilon_i$$

则称为戈里瑟检验 (Glejser test).

# 戈德菲尔德 - 匡特检验

戈德菲尔德 - 匡特检验 (Goldfeld-Quandt test) 简称 G-Q 检验，适用于异方差递增或递减的情况。其做法是，去掉样本中的中间 $c=n/4$ 个数据点，将剩余观察值分为两组，分别计算其残差平方和，得到 $\tilde{e}_{1i}^2$ 和 $\tilde{e}_{2i}^2$, 自由度均为 $\frac{n-c}{2}-k-1$. 则作比值

$$F = \frac{\sum\tilde{e}_{2i}^2/(\frac{n-c}{2}-k-1)}{\sum\tilde{e}_{1i}^2/(\frac{n-c}{2}-k-1)} \sim F(\frac{n-c}{2}-k-1, \frac{n-c}{2}-k-1)$$

进行假设检验。

# 怀特检验

对二元回归模型

$$Y_i = \beta_0 + \beta_1X_{1i} + \beta_2X_{2i} + \mu_i$$

怀特检验 (White test) 的基本思想和步骤如下：

1. 对模型做最小二乘回归，得到 $\tilde{e}_i^2$.
2. 作 $\tilde{e}_i^2$ 关于所有解释变量不超过$2$ 次组合式的辅助回归，例如作辅助回归

$$\tilde{e}_i^2 = \alpha_0 + \alpha_1X_{1i} + \alpha_2X_{2i} + \alpha_3X_{1i}^2 + \alpha_4X_{2i}^2 + \alpha_5X_{1i}X_{2i} + \varepsilon_i$$

3. 求辅助回归的拟合优度 $R^2$, 在同方差假设下满足 $nR^2 \dot{\sim} \chi^2(h)$, 其中 $h$ 为解释变量的数目，此处为 $2$.

# 异方差的修正

一般采用加权最小二乘法 (WLS) 进行修正。

# 序列相关性

# 概念

对于含$k$ 个解释变量的线性回归模型

$$Y_i = \beta_0 + \sum_{j=1}^k\beta_jX_{ji} + \mu_i, \quad i=1,2,\dots,n$$

随机项互不相关的假设是$\forall i\neq j,\, \mathrm{cov}(\mu_i,\mu_j) \neq 0$. 若该条件不满足，则认为出现序列相关性。若其仍满足零均值、同方差，则出现$\mathbb{E}(\mu_i\mu_j) \neq 0$. 这看作序列相关的一个重要特征。

# 自相关

若仅相邻行对应数据存在相关，即仅有 $\mathbb{E}(\mu_i\mu_{i+1}) \neq 0$, 则称之为一阶自相关，也简称自相关 (autocorrelation).

自相关往往可写成如下形式：

$$\mu_i = \rho\mu_{i-1} + \varepsilon_i,\quad-1<\rho<1$$

其中：$\rho$ 被称为自协方差系数 (coefficient of
autocovariance) 或一阶自相关系数 (first-order
coefficient of autocorrelation).

# 序列相关性的检验

# 图示法

可以构造 $\tilde{e}_i\sim\tilde{e}_{i-1}$ 或 $\tilde{e}_i\sim i$ 的图像反映序列相关性。

# 回归检验法

即猜测序列相关的形式。以$\tilde{e}_i$ 为被解释变量，以$\tilde{e}_{i-1}$ 等为解释变量建立方程。这与异方差性中的帕克检验和戈里瑟检验的思路类似。

# 杜宾 - 瓦森检验

杜宾 - 瓦森检验 (Durbin-Watson test) 是用来检验序列自相关的一种方法。其假设包括：

1. 解释变量$X$ 非随机
2. 随机误差项$\mu_i$ 为一阶自回归形式$\mu_i = \rho\mu_{i-1}+\varepsilon_i$
3. 回归模型中不应含有滞后应变量作为解释变量，即不应出现下列形式：$Yi=\beta_0+\beta_1X_{1i}+\dots+\beta_kX_{ki}+\gamma Y_{i-1}+\mu_i$.
4. 回归含有截距项

# 拉格朗日乘数检验

# 多重共线性

对于含$k$ 个解释变量的线性回归模型

$$Y_i = \beta_0 + \sum_{j=1}^k\beta_jX_{ji} + \mu_i, \quad i=1,2,\dots,n$$

一个基本假设是所有解释变量互相独立。