# 集类

集合的极限是在集类中讨论的。我们称以某集合 $X$ 的某些子集为元素组成一个 ($X$ 上的) 集类 (class). 在没有特殊说明的情况下，我们总假定集类是非空的。这样，我们就可以把集合的序列限制在集类中进行讨论。

# 环与代数

设 $X$ 是一个集合，$\boldsymbol{R}$ 是 $X$ 上的集类，若 $\boldsymbol{R}$ 满足：$\forall E_1, E_2 \in \boldsymbol{R}$, 有

1. E_1 \cup E_2 \in \boldsymbol
2. E_1 \setminus E_2 \in \boldsymbol

则称 $\boldsymbol{R}$ 是 $X$ 上的环 (ring). 特别地，若还有 $X \in \boldsymbol{R}$, 那么称 $\boldsymbol{R}$ 是 $X$ 上的代数 (algebra), 或称为域 (field).

# σ- 环和 σ- 代数

设 $\boldsymbol{S}$ 是 $X$ 上的集类，若对 $\forall E_i \in \boldsymbol{S}, i=1,2,\dots$ 都有

$$\bigcup_{i=1}^\infty E_i \in \boldsymbol{S}, \quad E_1-E_2 \in \boldsymbol{S}$$

则称 $\boldsymbol{S}$ 是 $X$ 上的 σ- 环。若又有 $X \in \boldsymbol{S}$, 则称 $\boldsymbol{S}$ 是 $X$ 上的 σ- 代数，或称 σ- 域。

# 单调集列

若 $\{A_n,n\geq1\}$ 为一集列，若对 $\forall n \in \mathbb{N}_+$, 有 $A_n \subset A_{n+1}$ （或 $A_n \supset A_{n+1}$）则称 $\{A_n\}$ 是单调增 (或单调减) 的，这两种集列统称为单调集列.

# 极限

容易看出，单调集列的极限常常是容易刻画的，可以表示为单调递减集列的无穷交或是单调递增集列的无穷并。因此，对于一般的集列 $\{A_n\}_{n=1}^\infty$, $B_n \coloneqq \bigcap_{i=n}^\infty A_i$ 是单调增的，$C_n \coloneqq \bigcup_{i=n}^\infty A_i$ 是单调减的。我们如此采用单调集列来定义极限，就得到了集合的上极限与下极限。

# Ref

• 实变函数论与泛函分析 夏道行