# 偏好

# 选择

# 偏好公理

• 对任意随机结果 $l_1, l_2$, 以下三者有且仅有一个成立：

  $$l_1 \succ l_2, \; l_1 \prec l_2, \; l_1 \sim l_2$$

• 传递性
• 连续性 (continuity): 若 $l_1<l_2<l_3$, 则 $\exists p \in [0,1]$ 使得 $pl_1 + (1-p)l_3 \sim l_2$
• 独立性 (independence):

# 效用函数

效用函数又称为冯・诺依曼 - 摩根斯坦定理 (utility function theorem)：
当玩家偏好满足完备性、传递性、连续性和独立性时，存在函数

$$u: O \to \mathbb{R}$$

满足

$$l_1 \succ l_2 \iff u(l_1) > u(l_2).$$

# 正则形式博弈

正则形式博弈 (normal-form game) 也称同时行动博弈 (simultaneous-move game) 或同时博弈 (simultaneous game), 可以用一个元组 $(N, A, u)$ 描述：

• $N=\{1,2,\dots,n\}$ 是玩家 (player) 集合；
• $A=\prod_{i=1}^nA_i$ 是所有玩家的动作向量集合，其中 $A_i$ 是玩家 $i$ 的动作 (action) 集合；
• $u=(u_1,u_2, \dots, u_n)$ 是所有玩家的效用函数 (utility function) 向量，其中 $u_i: A \to \mathbb{R}$ 是玩家 $i$ 的效用函数。

在收益矩阵中，一般行玩家写在前，列玩家写在后面。

# 基本假设

1. 理性人假设：每个人都是理性的，即都希望最大化期望效用函数。
2. 共同知识 (common knowledge) 假设：所有玩家都指导博弈的结构 $(N, A, u)$, 所有玩家都知道所有玩家都知道博弈的结构 $(N, A, u)$ ……

# 策略

策略 (strategy) 是选择动作的（随机）方式。若 $s_i(a_i)$ 是玩家 $i$ 选择动作 $a_i$ 的概率，则 $s_i(a_i)$ 满足：

$$\sum_{a_i \in A_i} s_i(a_i) = 1.$$

# 纯策略和混合策略

# 常用符号

• $s_{-i}$: 除玩家 $i$ 以外的其他玩家的策略组合。
• $\Delta(X)$
• $\mathrm{supp}()$

# 解概念与均衡

博弈中的解是一种均衡 (equilibrium), 即没有玩家愿意改变策略。

# 纳什均衡

若所有人都不能再提升效用，则称为均衡状态。