# 策略式博弈

我们称一个策略式博弈 (strategic form games)（或称标准式博弈 (normal form games)）是一个三元组 $(\mathcal{I}, S, u)$ . 其中：

参与人集合 (the set of players) $\mathcal{I} \coloneqq \{1,2,\dots, I\}$ 是一个有限集。
对每个参与人 $i \in \mathcal{I}$ , 其纯策略空间 (pure-strategy space) $S_i \in S$ .
对每个参与人 $i \in \mathcal{I}$ , 其收益函数 (payoff function) $u_i$ . 其中， $u_i(s)$ 是定义在策略组合 $s = (s_1, \dots, s_I)$ 上的效用 (utility) 函数，参数为 $i$ .

为方便，我们简记某参与人 $i$ 之外的所有其他参与人为 $-i$ , 即参与人 $i$ 的 “对手”。
定义中的策略形式宽泛。实际上，我们只关注不同策略带来的效用函数变化情况，而不关心策略本身的实现方式。
效用函数也可以采用更一般的偏好关系定义。

# 双人零和博弈

根据上述形式化定义，一个双人零和博弈 (two-player zero-sum game) 是一个满足 $\sum_{i=1}^2u_i(s) = 0$ 的博弈。

# 纯策略和混合策略

# 纳什均衡

纳什均衡是一种策略组合，使得每个参与人的策略是对其他参与人策略的最优反应。其形式化定义如下：

对混合策略组合 $\sigma^*$ , 若对 $\forall i \in \mathcal{I}$ 有

$u_i(\sigma_i^*, \sigma_{-i}^*) \geq u_i(s_i, \sigma_{-i}^*), \quad s_i \in S_i$

那么称该混合策略组合 $\sigma^*$ 是一个纳什均衡。