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# 偏好

# 基本概念

经济学是一门研究人类在有限的资源情况下作出选择的科学

—— 罗宾斯 1932

# 选择

选择是一种动作，是基于环境对结果的作用。

选择的原因是人对不同结果 (outcome) 的喜好程度不同。所有的结果集合用 OO 表示。

# 随机结果

一个随机结果 (lottery) 记作 L=∑ipioiL = \sum_i p_io_i, 表示以 pip_i 为概率出现结果 oio_i, 其中 pip_i pi≥0p_i \geq 0, ∑ipi=1\sum_i p_i = 1.

# 偏序

偏序 (partial order) 是满足以下性质的二元关系：

  • 自反性 (reflexivity): l∼ll \sim l;
  • 反对称性 (antisymmetry): l1∼l2⟹l2∼l1l_1 \sim l_2 \implies l_2 \sim l_1;
  • 传递性 (transitivity): l1∼l2l_1 \sim l_2 且 l2∼l3⟹l1∼l3l_2 \sim l_3 \implies l_1 \sim l_3.

一个偏序如果称为全序 (total order), 则需额外满足：

  • 完全性 (total): 对任意 l1,l2∈Ol_1, l_2 \in O, 有 l1∼l2l_1 \sim l_2 或 l2∼l1l_2 \sim l_1.

# 偏好

设 NN 为玩家集合，则玩家 ii 对随机结果的偏好 (preference) 记为 ≻i\succ_i.

我们用 ≻\succ, ≺\prec 表示不能取等号的情况，用 ≽\succcurlyeq, ≼\preccurlyeq 表示可以取等号的情况。

# 偏好公理

为便于计算和分析，引入偏好公理 (preference axioms) 规范化偏好：

  • 完备性 (completeness): 对任意随机结果 L1,L2L_1, L_2, 以下三者有且仅有一个成立：

    L1≻L2,L1≺L2,L1∼L2.L_1 \succ L_2, \; L_1 \prec L_2, \; L_1 \sim L_2.

    需要注意，此处的 ∼\sim 表示两者相似，而非不可比较。

  • 传递性 (transitivity): 若 L1≺L2,L2≺L3L_1 \prec L_2, L_2 \prec L_3, 则 L1≺L3L_1 \prec L_3.
  • 连续性 (continuity): 若 L1<L2<L3L_1<L_2<L_3, 则 ∃p∈[0,1]\exists p \in [0,1] 使得 pl1+(1−p)l3∼l2pl_1 + (1-p)l_3 \sim l_2
  • 独立性 (independence): L1≼L2L_1 \preccurlyeq L_2 当且仅当 ∀L3,p∈[0,1]\forall L_3, p \in [0,1],

    pL1+(1−p)L3≼pL2+(1−p)L3.pL_1 + (1-p)L_3 \preccurlyeq pL_2 + (1-p)L_3.

# 效用函数

效用函数 (utility function) 的存在性又称为冯・诺依曼 - 摩根斯坦效用定理 (Von Neumann-Morgenstern utility theorem): 当玩家偏好满足完备性、传递性、连续性和独立性时，存在函数

u:O→Ru: O \to \mathbb{R}

满足

L1≻L2⟺u(L1)>u(L2),L_1 \succ L_2 \iff u(L_1) > u(L_2),

其中 u(L)=u(∑ipioi)=∑ipiu(oi)u(L) = u(\sum_i p_io_i) = \sum_i p_i u(o_i).

  1. 效用函数值之间的大小关系比较重要，但大小的具体值不重要。
  2. 对任意的冯・诺依曼 - 摩根斯坦效用函数 u(o)u(o) 和常数 a,ba,b, 若 a>0a>0, 则仿射变换后的效用函数

    u′(o)=au(o)+bu'(o) = au(o) + b

    仍然是一个冯・诺依曼 - 摩根斯坦效用函数。