好又是摸鱼的一节课。

# 斯塔克伯格博弈 (Stackelberg Game)

标准形式的斯塔克伯格博弈 (Stackelberg Game) 由两个玩家组成，记为 $N = \{1, 2\}$, 其中玩家 1 是领导者 (leader), 玩家 2 是跟随者 (follower). 两者的动作集分别为 $A_l$ 和 $A_f$, 效用函数分别记作 $u_l(a), u_f(a)$, 其中 $a = (a_l, a_f)$. 该博弈过程如下：

1. 领导者选择策略 $s_l$ 并将其告知跟随者；
2. 跟随者选择对该策略的最优回应 $a_f$;
3. 领导者根据 $s_l$ 选择动作 $a_l$, 最终领导者与跟随者同时做出动作。

# 势博弈

# 定义

给定一个正则形式博弈，若存在函数 $\Phi: A \mapsto \mathbb{R}$, 使得对 $\forall i, a_i, a_i', a_{-i}$, 都满足

$$u_i(a_i, a_{-i}) - u_i(a_i', a_{-i}) = \Phi(a_i, a_{-i}) - \Phi(a_i', a_{-i}),$$

那么称该博弈为一个势博弈 (potential game), $\Phi$ 称为势函数 (potential function).

# 性质

任何有限势博弈一定存在一个纯策略纳什均衡。

# 拥塞博弈

拥塞博弈一般用于建模玩家之间争夺资源的问题。

一个拥塞博弈 是一个四元组 $(N, R， A,c)$, 其中

• $N$ 是玩家集合，$|N| = n$;
• $R$ 是资源集合，$|R| = r$;
• $A_i$ 是玩家 $i$ 的行动集合，$A = \prod_{i=1}^n A_i$ 是动作向量集合；
• $c = (c_1, c_2, \cdots, c_n)$ 是所有资源的代价函数。

# 重复博弈

# 定义

重复博弈是某博弈重复若干轮所形成的博弈。

在重复博弈 $G^T$ 中，