# 赋范空间

# 定义

设数域 $\mathbb{K}$ 上的线性空间 $X$ 上存在泛函 $\|\cdot\|: X \to [0, +\infty)$ 满足

$\|x\| = 0 \iff x = \bold 0$
$\|x+y\| \leq \|x\| + \|y\|$
$\|\alpha x\| = |\alpha| \|x\|, \forall \alpha \in \mathbb{K}, x \in X$

则称 $(X, \|\cdot\|)$ 是赋范空间 (normed space) 或 B*- 空间，并称 $\|x\|$ 为 $x$ 的范数 (norm).

# 例子

下面是关于赋范空间的几个例子。

例 1 $X = \mathbb{K}^n$ , 则

$\|x\|_p \coloneqq \left(\sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p}, \quad p \geq 1$

是一个范数，称为 p - 范数 (p-norm). 其中 $p=2$ 称为欧几里得范数 (Eculidean norm). 若 $p = \infty$ , 则退化为 $\displaystyle \|x\|_\infty = \max_i |x_i|$ .

事实上，在有限维空间中，不同的范数相互等价，即其诱导的收敛是一样的。

例 2 $X = C[a,b]$ , 则

$\|u\| \coloneqq \max_{[a,b]}|u(x)|, \quad u \in C[a,b]$

是 $C[a,b]$ 上的范数。

闭区间上的连续函数必有最值。

基于此范数，若存在函数列 $\{u_i\}_{i=1}^\infty$ 满足

$\lim_{n \to \infty} \|u_n - u\| = 0$

那么函数列 $\{u_i\}_{i=1}^\infty$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $u$ , 记作 $u_n \rightrightarrows u$ .

例 3 $X = C^1[a,b]$ , 则

$\|u\|_1 \coloneqq \max_{[a,b]}(|u(x)| + |u'(x)|), \quad u \in C^1[a,b]$

是 $C^1[a,b]$ 上的范数。

例 4 $X = \mathbb{Q}$ , 则 $r \in \mathbb{Q}$ 的 p-adic 范数定义为

$|r|_p \coloneqq p^{-\nu_p(r)}$

其中， $\nu_p(r)$ 称为数 $r$ 的 p-adic 值，定义为

$\nu_p(r) \coloneqq \left\{ \begin{aligned} & \infty && \text{if } n = 0 \\ & \max\{k \in \mathbb{N}: p^k|r\} && \text{if } n \in \mathbb{N_+} \\ & \nu_p(m) - \nu_p(n) && \text{if } r = m/n \in \mathbb{Q}, \; m,n \in \mathbb{N}, \; (m,n) = 1 \end{aligned} \right.$

# 性质

在这里，我们证明一个重要的性质：有限维线性赋范空间上的模等价。我们首先给出范数等价的定义。

$\|x_n\|_2 \to 0 \Rightarrow \|x_n\|_1 \to 0$

若 $\|\cdot\|_1$ 强于 $\|\cdot\|_2$ 且 $\|\cdot\|_2$ 强于 $\|\cdot\|_1$ , 则称 $\|\cdot\|_1$ 与 $\|\cdot\|_2$ 等价。

换种说法， $\|\cdot\|_1$ 与 $\|\cdot\|_2$ 等价，当且仅当 $\exists m, M$ 使得

$m\|x\|_1 \leq \|x\|_2 \leq M\|x\|_1, \quad \forall x \in X$

显然，基于此方式定义的范数等价是一个等价关系。因此，我们可以转而证明所有范数和欧式范数 $\|\cdot\|_E$ 等价。

对 $X$ 中的一组基 $\{e_i\}_{i=1}^n$ , 设 $x = \sum_{i=1}^n x_ie_i \; \forall x \in X$ . 那么

$\|x\| = \left\|\sum_{i=1}^n x_ie_i \right\| = \sum_{i=1}^n |x_i| \|e_i\| \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n \|e_i\|^2} = M \|x\|_E$

# 度量空间

设数域 $\mathbb{K}$ 上的线性空间 $X$ 上存在一个双变量实值函数 $\rho(\cdot, \cdot): X \times X \to [0, +\infty)$ 满足

$\rho(x,y) \geq 0, \forall x,y \in X$ , 且 $\rho(x,y) = 0 \iff x = y$
$\rho(x,y) = \rho(y,x)$
$\rho(x,z) \leq \rho(x,y) + \rho(y,z), \forall x,y,z \in X$
则称 $\rho$ 是 $X$ 上的一个距离 (distance)，称 $(X, \rho)$ 是一个度量空间。

赋范空间 $(X, \|\cdot\|)$ 可以通过

$\rho(x,y) = \|x-y\|$

诱导得到度量空间 $(X, \rho)$ . 这样通过范数诱导得到的度量空间具有平移不变性：

$\rho (x+z, y+z) = \rho(x,y), \quad \forall x,y,z \in X$

相反地，度量空间不一定是赋范空间。因为赋范空间的定义要求赋范空间定义于线性空间上，而度量空间不一定是线性空间。

# Banach 空间

# 定义

# Cauchy 列

赋范空间 $X$ 中的序列 $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ 若满足： $\forall \varepsilon > 0$ , $\exists N \in \mathbb{N}_+$ 使得 $\forall m,n > N$ , 有

$\|x_n - x_m\| \leq \varepsilon$

则称 $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ 为柯西列 (Cauchy sequence), 也叫基本列。

# Banach 空间

对赋范空间 $X$ , 若其中的 Cauchy 列均收敛，即 $\forall \{x_n\}_{n=1}^\infty$ 为 Cauchy 列，都 $\exists x \in X$ 使得

$\lim_{n \to \infty}\|x_n-x\| = 0$

则称赋范空间 $(X, \|\cdot\|)$ 是完备赋范空间 (complete normed space), 又称巴拿赫空间 (Banach space) 或 B - 空间。

# 例子

例 5 $(\mathbb{K}^n, \|\cdot\|_p)$ 当 $\mathbb{K} = \mathbb{R}, \mathbb{C}$ 时是完备的，当 $\mathbb{K} = \mathbb{Q}$ 且 $p=2$ 时是非完备的。

例 6 $(C[a,b], \|\cdot\|)$ , 其中 $\|u\| \coloneqq \max_{[a,b]}\|u(x)\|$ 是完备的；而 $(C^1[a,b], \|\cdot\|)$ , 其中 $\|u\| \coloneqq \max_{[a,b]}\|u(x)\|$ 是非完备的。

对于 $(C^1[a,b], \|\cdot\|)$ , 可以取 $a=-1, b=1, u_n(x) = \sqrt{x^2+ \frac{1}{n}}$ . 这样

$u_n(x) \rightrightarrows |x| \notin C^1[-1,1]$

例 7 $(C^1[a,b], \|\cdot\|_1)$ , 其中 $\|u\|_1 \coloneqq \max_{[a,b]}(|u(x)| + |u'(x)|)$ 是完备的。

# 空间完备化

下面这部分内容可以参考张恭庆著泛函分析讲义的定理 1.2.6.

# Cauchy 列等价

$(X, \|\cdot\|)$ 是线性赋范空间， $\xi = \{x_n\}_{i=1}^\infty,\; \eta = \{y_n\}_{i=1}^\infty$ 是其上的 Cauchy 列。若 $\xi, \eta$ 满足

$\|x_n-y_n\| \to 0, \quad n \to \infty$

则称 $\xi$ 与 $\eta$ 等价，记作 $\xi \sim \eta$ .

Cauchy 列等价为等价关系的证明

$\lim_{n \to \infty} \|x_n - x_n\| = 0$

因此满足自反性。

若 $\xi \sim \eta$ , 则

$\lim_{n \to \infty} \|y_n - x_n\| = \lim_{n \to \infty} \|x_n - y_n\| = 0$

因此满足对称性。

设 $\xi = \{x_n\}_{i=1}^\infty$ , $\eta = \{y_n\}_{i=1}^\infty$ , $\zeta = \{z_n\}_{i=1}^\infty$ 均为 Cauchy 列，且 $\xi \sim \eta$ , $\eta \sim \zeta$ . 则基于三角不等式，有

$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \|x_n- z_n\| & \leq \lim_{n \to \infty} (\|x_n-y_n\| + \|y_n-z_n\|) \\ & = \lim_{n \to \infty} \|x_n-y_n\| + \lim_{n \to \infty}\|y_n-z_n\| \\ & = 0 + 0 = 0 \end{aligned}$

因此满足传递性。

易于验证 Cauchy 列的等价关系满足自反、对称、传递性，因此上述定义的 Cauchy 列等价是等价关系。

# 完备赋范空间

这样，我们可以基于等价类定义完备的线性赋范空间：

设 $(X, \|\cdot\|)$ 是线性赋范空间，定义

$\bar{X} \coloneqq \{[\xi]\, \big| \xi \text{ is Cauchy sequence}, \xi \subseteq X\}$

在 $\bar{X}$ 上引入加法和数乘如下：

$[\xi] + [\eta] \coloneqq [\xi + \eta] \\ \alpha[\xi] \coloneqq [\alpha \xi]$

易于证明， $\bar{X}$ 是线性空间。

现在，我们在新的赋范空间上定义新的范数。注意到，对于 $X$ 中的 Cauchy 列 $\xi = \{x_n\}_{i=0}^\infty$ , 基于三角不等式，有

$\big|\|x_n\| - \|x_m\| \big| \leq \|x_n - x_m\| \to 0, \quad m,n \to \infty$

因此 $\{x_n\}$ 是 $\mathbb{R}$ 中的 Cauchy 列，故极限 $\lim_{n \to \infty} \|x_n\|$ 存在。

因此，我们定义 $\bar{X}$ 中的范数如下：

$\|[\xi]\| \coloneqq \lim_{n \to \infty}\|x_n\|$

此时，显然有 $[\xi] \sim [\eta] \iff \|[\xi]\| = \|\eta\|$ .

此外，容易验证其满足范数的要求：

$\|[\xi]\| = 0 \iff [\xi] = [0]$
$\|[\alpha\xi]\| = \alpha \|[\xi]\|$
$\|[\xi] + [\eta]\| \leq \|[\xi]\| + \|[\eta]\|$

三角不等式的证明

$\|[\xi] + [\eta]\| = \|[\xi + \eta]\| = \lim_{n \to \infty}\|x_n + y_n\| \leq \lim_{n \to \infty} \|x_n\| + \lim_{n \to \infty} \|y_n\| = \|[\xi]\| + \|[\eta]\|$

因此，这是一个良定义的赋范空间。下面，我们需要证明该赋范空间是完备的。

草，这个证明我还没看懂。

# 等距同构映射

对于度量空间 $(X, \rho)$ , $(X_1, \rho_1)$ . 我们称映射 $T:X \to X_1$ 是一个等距同构映射当且仅当

$T$ 是满射
$\rho(x,y) = \rho_1(Tx, Ty), \quad \forall x,y \in X$

# Ref

蒋美跃泛函分析
为什么有限维赋范线性空间中的范数是等价的？

# 赋范空间

# 定义

# 例子

# 性质

# 度量空间

# Banach 空间

# 定义

# Cauchy 列

# Banach 空间

# 例子

# 空间完备化

# Cauchy 列等价

# 完备赋范空间

# 等距同构映射

# Ref

高等代数笔记拾遗(8)：二次型

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