感觉还是需要一些群表示论的知识，然后就听了丘维声老师的群表示论网课。不同于前，这次网课几乎是快进着听的。

# 引言

# 代数系统

设 $S$ 是一个集合，称

$$S \times S = \{(a,b)|a, b \in S\}$$

是 $S$ 上的一个 笛卡尔积 (Cartesian product). $S \times S$ 到 $S$ 的一个映射称为 $S$ 上的一个 (二元) 代数运算 (algebraic operation).

现代数学的鲜明特征就是要研究具有各种运算的集合，称为代数系统 (algebraic system).

# 环

如果定义加法、乘法的集合满足下列六条运算法则：

1. 加法交换律
2. 加法结合律
3. 存在零元
4. 存在负元
5. 乘法结合律
6. 乘法对加法的左右分配律
   那么称该代数系统是一个环 (ring).

下面是一些性质或定义：

1. 若环 $R$ 满足乘法交换律，则称 $R$ 为交换环。
2. 若环 $R$ 中存在元素 $e$ 使得 $ea = ae = a, \forall a \in R$, 则称 $e$ 是 $R$ 的单位元 (identity element).
3. 对于 $a \in R$, 若存在 $c \neq 0, c \in R$ 使得 $ac = 0$, 则称 $a$ 是一个左零因子，类似可以定义右零因子。
4. 在有单位元 $e \neq 0$ 的环 $R$ 中，对于 $a \in R$, 若存在 $b \in R$ 使得 $ab = ba = e$, 则称 $a$ 是 $R$ 的可逆元 (invertible element) 或 单位 (unit), $b$ 是 $a$ 的逆元 (inverse). 记作 $b = a^{-1}$.

例如，模 $m$ 的剩余类环 $\mathbb{Z}_m$ 是一个有单位元的交换环。

# 域

有单位元 $e \neq 0$ 的交换环，且每一个非零元都是可逆元的环称为域 (field).