# 二次型

# 基本概念

# 二次型

若域 $\mathbb{F}$ 上一个 $n$ 元二次齐次多项式

$$f(x_1, x_2, \dots, x_n) = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j = X^\top A X$$

满足 $A = A^\top$, 则称其为域 $\mathbb{F}$ 上的一个 $n$ 元二次型，矩阵 $A$ 称为二次型 $X^\top A X$ 的矩阵。

# 线性替换

设 $C$ 为可逆矩阵，则称 $X$ 用 $CY$ 代入是一个变量 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 到变量 $y_1, y_2, \dots, y_n$ 的一个非退化线性替换。

于是，$n$ 元二次型 $X^\top A X$ 经非退化线性替换 $X = CY$ 变为

$$(CY)^\top A (CY) = Y^\top (C^\top A C) Y \triangleq Y^\top B Y$$

显然 $B = C^\top A C$ 是对称矩阵，则 $B$ 是二次型 $Y^\top B Y$ 的矩阵。

# 二次型的等价

# 定义

对域 $\mathbb{F}$ 上的两个 $n$ 元二次型 $X^\top A X$ 和 $Y^\top B Y$, 若存在非退化线性替换 $X = CY$ 使得 $X^\top AX = Y^\top BY$, 则称二次型 $X^\top A X$ 和 $Y^\top B Y$ 等价，记作 $X^\top A X \cong Y^\top B Y$.

容易证明，二次型的等价是一个等价关系。

# 性质

域 $\mathbb{F}$ 上 $n$ 元二次型 $X^\top AX \cong Y^\top BY \iff A \simeq B$.

# 标准型

特征不为 $2$ 的域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 元二次型 $X^\top AX$ 一定等价于一个只含平方项的二次型

$$\sum_{i=1}^n d_ix_i^2$$