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# 动力系统的产生与发展

# 常微分方程定性理论

动力系统的研究起源于

若映射 $\varphi : \mathbb{R} \times \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m$ 满足：

1. $\varphi(0, \boldsymbol{x}) = \boldsymbol{x}, \forall \boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^m$;
2. $\varphi(s+t, \boldsymbol{x}) = \varphi(s, \varphi(t,\boldsymbol{x})), \forall s,t \in \mathbb{R}, \boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^m$.

那么，称映射 $\varphi$ 是 $\mathbb{R}^m$ 中的动力系统 (dynamical system) 或者流 (flow), 并记

$$\mathrm{Orb}_{\varphi}(\boldsymbol{x}) \coloneqq \{\varphi(t,\boldsymbol{x})|t \in \mathbb{R}\} \subset \mathbb{R}^m$$

称为流 $\varphi$ 流经点 $\boldsymbol{x}$ 的轨道 (orbit).

# 离散动力系统

# Sarkovskii 定理