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终于下定决心把之前欠下的东西补上。

# 概述

拓扑的主要性质包括：

  1. 分离性
  2. 可数性
  3. 紧致性

# 分离公理

分离公理 (separation axioms) 是用来描述两个点或者闭集之间能否用邻域分隔的性质，是对拓扑空间的附加要求。在这里用一张 sola 文章 中的图解释：

  1. T1T_1 公理：任意两个不同点 xx 与 yy, xx 有邻域不含 yy, yy 有邻域不含 xx.
  2. T2T_2 公理：任何两个不同点有不相交的邻域。

T2T_2 公理是最重要的分离公理，满足该公理的空间称为豪斯多夫空间 (Hausdorff space).

其实其它几个也有名字来着，尽管不太常用。满足 T1T_1 公理的叫弗雷歇空间 (Fréchet space), 满足 T3T_3 公理的叫正则豪斯多夫空间 (regular Hausdorff space), 满足 T4T_4 公理的叫正规豪斯多夫空间 (normal Hausdorff space).

注意实数集上的余有限拓扑 (R),τf(\mathbb{R}), \tau_f, 对于点 xx, 其存在邻域 R∖{y}\mathbb{R} \setminus \{y\} 不含 yy. 类似，点 yy 也存在邻域 R∖{x}\mathbb{R} \setminus \{x\} 不含 xx, 因此其满足 T1T_1 公理。但由于该拓扑是 “余有限” 的，因此任意两邻域必定相交，因此不满足 T2T_2 公理。

命题 1 XX 满足 T1T_1 公理 ⟺\iff XX 的有限子集是闭集。

命题 2 在 Hausdorff 空间中，一个序列不会收敛到两个以上的点。

  1. T3T_3 公理：任意一点与不含它的任一闭集有不相交的（开）邻域。
  2. T4T_4 公理：任意两个不相交的闭集有不相交的（开）邻域。

# 可数公理

可数公理 (countability axioms)

# 紧致性

# Ref

  • 基础拓扑学讲义 尤承业
  • Topological Property - Wikipedia
  • Axiom of countability - Wikipedia
  • Hausdorff Space - Wikipedia
  • 浅谈拓扑（四） - sola 的文章 - 知乎