终于下定决心把之前欠下的东西补上。

# 概述

拓扑的主要性质包括：

1. 分离性
2. 可数性
3. 紧致性

# 分离公理

分离公理 (separation axioms) 是用来描述两个点或者闭集之间能否用邻域分隔的性质，是对拓扑空间的附加要求。在这里用一张 sola 文章 中的图解释：

1. $T_1$ 公理：任意两个不同点 $x$ 与 $y$, $x$ 有邻域不含 $y$, $y$ 有邻域不含 $x$.
2. $T_2$ 公理：任何两个不同点有不相交的邻域。

注意实数集上的余有限拓扑 $(\mathbb{R}), \tau_f$, 对于点 $x$, 其存在邻域 $\mathbb{R} \setminus \{y\}$ 不含 $y$. 类似，点 $y$ 也存在邻域 $\mathbb{R} \setminus \{x\}$ 不含 $x$, 因此其满足 $T_1$ 公理。但由于该拓扑是 “余有限” 的，因此任意两邻域必定相交，因此不满足 $T_2$ 公理。

命题 1 $X$ 满足 $T_1$ 公理 $\iff$ $X$ 的有限子集是闭集。

命题 2 在 Hausdorff 空间中，一个序列不会收敛到两个以上的点。

3. $T_3$ 公理：任意一点与不含它的任一闭集有不相交的（开）邻域。
4. $T_4$ 公理：任意两个不相交的闭集有不相交的（开）邻域。

# 可数公理

# 邻域系和邻域基

设 $x \in X$ 是拓扑空间上的一点，其所有邻域组成的集合 $\mathscr{N}(x)$ 称为点 $x$ 的邻域系 (neighborhood system). 对于一个邻域系 $\mathscr{N}(x)$ 的子集 $\mathscr{U}(x) \subseteq \mathscr{N}(x)$, 若任意的邻域 $N(x) \in \mathscr{N}(x)$, 都存在 $\mathscr{U}(x)$ 中的元素 $U \in \mathscr{U}(x)$ 使得 $U \subseteq N(x)$, 则称 $\mathscr{U}(x)$ 是点 $x$ 的邻域基 (neighborhood base).

# 可数公理

可数公理 (countability axioms) 包括第一可数公理和第二可数公理，分别简称 $C_1$ 公理和 $C_2$ 公理。满足 $C_i$ 公理的空间称为 $C_i$ 空间。

第一可数公理：任一点都有可数的邻域基。

第二可数公理：空间具有可数拓扑基。满足该公理的空间称为可分空间 (separable space).

若一个空间是可分空间，则其也必定是 $C_1$ 空间，但反之不成立。例如，

# 遗传性

若一个拓扑空间 $X$ 满足性质 $P$, 其任意子空间 $X_1$ 都具有性质 $P$, 则称 $P$ 在 $X$ 上具有遗传性 (hereditary property).

# 紧致性

# 列紧性

# 紧致度量空间

性质 对于度量空间，列紧与紧致等价。

# 紧致空间

对于一般的拓扑空间，紧致与列紧不是等价的。

# 连通性

# 定义

定义 拓扑空间 $X$ 称为连通的 (connected), 若其不能分解为任意两个非空不相交开集的并。

# 道路连通性

# Ref

• 基础拓扑学讲义 尤承业
• Topological Property - Wikipedia
• Axiom of countability - Wikipedia
• Hausdorff Space - Wikipedia
• 浅谈拓扑（四） - sola 的文章 - 知乎