好，我的物理知识正在逐渐唤醒。

# 背景

前情回顾：

在上一节中，简单总结了达朗贝尔原理，实际上就是惯性力。但是并没有作进一步的阐释，比如如何从达朗贝尔原理引出拉格朗日力学的思想等等。

首先注意到达朗贝尔原理的形式：

$$\sum_{i=1}^n (\bm{F}_i - m_i \ddot{\bm{r}}_i) \cdot \delta \bm{r}_i = 0. \tag{1}$$

这里存在的最大问题就是虚位移 $\delta \bm{r}_i$ 在有约束情况下并不独立，难以分析，因此可以通过广义坐标进行简化。

# 坐标变换关系

现在引入力学系统的 $s$ 个独立广义坐标 $q_1, q_2, \dots, q_s$. 那么径矢可以由广义坐标和时间进行表示：

$$\bm{r}_i = \bm{r}_i(q_1, q_2, \dots, q_s, t), \quad i = 1, 2, \dots, n, \tag{2}$$

该式称为坐标变换关系。

# 拉格朗日关系

通过对坐标变换关系进行计算，可以得到拉格朗日关系。下面简单重复一遍推导，推导过程仍然源自梁昆淼老师的《理论力学》。

对坐标变换关系求导，得到

$$\dot{\bm{r}}_i = \frac{\mathrm{d} \bm{r}_i}{\mathrm{d} t} = \frac{\partial \bm{r}_i(q,t)}{\partial t} + \sum_{\alpha=1}^s \frac{\bm{r}_i(q,t)}{\partial q_\alpha} \dot{q}_\alpha, \tag{3}$$

再对 $\dot{q}_\beta$ 求偏导，得到

$$\frac{\partial \dot{\bm{r}}_i}{\partial \dot{q}_\beta} = \frac{\partial}{\partial \dot{q}_\beta}\left( \frac{\partial \bm{r}_i}{\partial t} + \sum_{\alpha=1}^s \frac{\bm{r}_i}{\partial q_\alpha} \dot{q}_\alpha \right) = \frac{\partial}{\partial q_\beta} \left(\frac{\partial \bm{r}_i}{q_\beta} \dot{q}_\beta \right) = \frac{\partial \bm{r}_i}{\partial q_\beta}, \tag{4}$$

即

$$\frac{\partial \dot{\bm{r}}_i}{\partial \dot{q}_\beta} = \frac{\partial \bm{r}_i}{\partial q_\beta}. \tag{5}$$

其中，第二个等号使用了 $\bm{r}_i$ 只与 $q,t$ 有关而与 $\dot{q}$ 无关这一事实。

类似地，将坐标变换关系求导后的式子对 $q_\beta$ 求偏导，得到

$$\frac{\partial}{\partial q_\beta} \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \bm{r}_i\right) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left( \frac{\partial}{\partial q_\beta} \bm{r}_i \right). \tag{6}$$

式 (5), (6) 称为拉格朗日关系。

# 拉格朗日方程

回顾达朗贝尔原理，即

$$\sum_i \left( \bm{F}_i \cdot \delta \bm{r}_i - m_i \ddot{\bm{r}}_i \cdot \delta \bm{r}_i \right) = 0. \tag{7}$$

将坐标变换关系 (2) 代入到之前的达朗贝尔原理 (7) 中，并分两部分分别计算，得到：

$$\sum_i \bm{F}_i \cdot \delta \bm{r}_i = \sum_i \left(F_i \cdot \sum_\alpha \frac{\partial \bm{r}_i}{\partial q_\alpha} \delta q_\alpha \right) = \sum_\alpha \left(\sum_i \bm{F}_i \cdot \frac{\partial \bm{r}_i}{\partial q_\alpha}\right) \delta q_\alpha = \sum_\alpha Q_\alpha \delta q_\alpha, \tag{8}$$

其中

$$Q_\alpha = \sum_i \bm{F}_i \cdot \frac{\partial \bm{r}_i}{\partial q_\alpha}, \tag{9}$$

称为广义力。

以及

$$-\sum_i m_i \ddot{\bm{r}}_i \cdot \delta \bm{r}_i = -\sum_i \left( m_i \ddot{\bm{r}}_i \cdot \sum_\alpha \frac{\partial \bm{r}_i}{\partial q_\alpha} \delta q_\alpha \right) = -\sum_\alpha \left( \sum_i m_i \ddot{\bm{r}}_i \cdot \frac{\partial \bm{r}_i}{\partial q_\alpha} \right) \delta q_\alpha. \tag{10}$$

又

$$\begin{aligned} \sum_i m_i\ddot{\bm{r}} \cdot \frac{\partial \bm{r}_i}{\partial q_\alpha} & = \sum_i m_i \frac{\mathrm{d}\dot{\bm{r}}_i}{\mathrm{d}t} \cdot \frac{\partial \bm{r}_i}{\partial q_\alpha} \\ & = \sum_i m_i \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dot{\bm{r}}_i \cdot \frac{\partial \bm{r}_i}{\partial q_\alpha}\right) - \sum_i m_i \dot{\bm{r}}_i \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial \bm{r}_i}{\partial q_\alpha}\right). \tag{11} \end{aligned}$$

代入上式 (10), 于是得到

$$\sum_{\alpha=1}^s \left(Q_\alpha - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_\alpha} + \frac{\partial T}{\partial q_\alpha} \right)\delta q_\alpha = 0,$$

其中 $T = \sum_i \frac{1}{2} m_i |\dot{r}_i|^2$ 是系统的动能。注意到这里的各个广义坐标 $q_\alpha$ 是相互独立的，因此就直接得到

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_\alpha} - \frac{\partial T}{\partial q_\alpha} = Q_\alpha, \quad \alpha = 1, 2, \dots, s.$$

这就是拉格朗日方程 (Lagrange equation). 即广义动量的时间变化率等于广义主动力与拉格朗日力之和。

# 主动力全是保守力的系统的拉格朗日方程

如果主动力全是保守力，那么就可以构建一个势能函数 $V(\bm{r}_1, \bm{r}_2, \dots, \bm{r}_n, t)$, 使得

$$\bm{F}_i = - \nabla_i V.$$

于是广义力

$$Q_{\alpha} = \sum_i \bm{F}_i \cdot \frac{\partial \bm{r}_i}{\partial q_\alpha} = - \sum_i \nabla_i V \cdot \frac{\partial \bm{r}_i}{\partial q_\alpha} = -\frac{\partial V}{\partial q_\alpha}, \quad \alpha = 1, 2, \dots, s.$$

然后拉格朗日方程就转变成了

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_\alpha} - \frac{\partial (T-V)}{\partial q_\alpha} = 0, \quad \alpha = 1, 2, \dots, s.$$

注意到势能 $V$ 仅是广义坐标的函数，与广义速度无关，因此有

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial (T-V)}{\partial \dot{q}_\alpha} - \frac{\partial (T-V)}{\partial q_\alpha} = 0, \quad \alpha = 1, 2, \dots, s.$$

这里定义拉格朗日量 (Lagrangian)

$$L = T-V,$$

则上述拉格朗日方程简化为

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_\alpha} - \frac{\partial L}{\partial q_\alpha} = 0, \quad \alpha = 1, 2, \dots, s.$$

如果定义

$$p_\alpha \coloneqq \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_\alpha}, \quad \alpha = 1, 2, \dots, s,$$

为广义动量 (generalized momentum), 则拉格朗日方程可以写作

$$\frac{\mathrm{d}p_\alpha}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial L}{\partial q_\alpha}, \quad \alpha = 1, 2, \dots, s.$$

即广义动量的随时间的变化率等于广义力。

# Ref

• Largangian mechanics - Wikipedia
• 【分析力学】电磁场中带电粒子的 Lagrange 量和 Hamilton 量 - Sebastian 的文章 - 知乎
• 拉格朗日量与哈密顿量 -- 分析力学入门 - Monsoon 的文章 - 知乎