似乎需要了解一些基本的物理学常识。

# 概述

# 矢量力学

矢量力学（牛顿力学）是以力作为研究物体间相互作用的途径。通过基于力的方程实现力学系统的求解。

矢量力学以牛顿三定律为基础：

• 牛顿第一定律：不受外力作用的物体保持静止或作匀速直线运动。
• 牛顿第二定律：物体动量的变化率正比于作用在该物体上的力，即 $\displaystyle F = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(mv)$. 在牛顿力学中，$m$ 是常量，则有 $F = ma$.
• 牛顿第三定律：物体之间的作用总是相互的，作用力与反作用力沿同一条直线大小相等而方向相反。

然而，基于力的分析方式常常不是最简便的。例如，刚体内部的力，铰链处的力常常难以刻画。此外，局限于笛卡尔坐标、极坐标或自然坐标的分析常常也不是数学上最简便的。因此，有必要引入新的分析方式，简化力学系统的求解。

# 分析力学

在这里我想直接摘录刘川老师在理论力学教材中的一段，作为理论力学 / 分析力学的入门指导：

牛额力学的原始表述依赖于他创立的（流数形式的）微积分。这种形式一般人很难理解，要灵活地运用它就更加困难了。这直接导致牛顿力学的发扬光大并不是在牛顿的手中实现的，它的伟大成就更多地是在一群欧洲大陆的数学家、物理学家的努力下实现的。他们运用的描述形式恰恰是分析力学的诞生点。牛顿的矢量力学表述方式一般只能够用于纯经典力学的范畴，很难将其推广到物理学的其他领域。相反，分析力学的表述方式可以轻易地推广到经典的场系统、经典的电磁学、经典的光学，甚至在考虑了量子力学的基本原理后，还可以方便地推广到量子力学。也就是说，分析力学的语言是一种在整个物理
学中更为通用的语言。随着理论物理课程的深入，同学们会越来越少地遇到力的概念．相应地，会越来越多地遇到拉格朗日量、哈密顿量、欧拉 - 拉格朗日方程、哈密顿方程等等这些分析力学的概念。因此，建立起分析力学的基本概念，掌握分析力学的基本方法是本课程的中心任务。我觉得这个任务远比具体解一两道力学题目要重要得多。这些基本概念和方法将会在随后的其他课程中多次被利用到事实上，分析力学中的许多概念已经成为现代理论物理学的基础概念。

# 约束

约束 (constraint) 是对机械运动的强制性限制。刚体、铰链、无滑动滚动、绳都是对机械运动的约束。约束的一般数学表达是

$$f(\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2, \dots, \boldsymbol{r_n}; \dot{\boldsymbol{r}}_1, \dot{\boldsymbol{r}}_2, \dots, \dot{\boldsymbol{r}}_n; t) = 0$$

其中 $\boldsymbol{r}_i$ 是质点 $i$ 的位矢。因此，约束是基于坐标和速度进行的。

# 几何约束

如果约束仅针对位移进行，即对力学系统的几何形象进行限制，那么称这样的约束为几何约束。约束方程为

$$f(\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2, \dots, \boldsymbol{r}_n; t) = 0$$

例如，刚体内任意两点之间距离不变，表示为几何约束为

$$(\boldsymbol{r}_i-\boldsymbol{r}_j)^2 - r_{ij}^2 = 0, \quad \forall i \neq j$$

# 运动约束

如果约束还设计了力学系统的运动情况即速度条件，那么称这样的约束为运动约束，又称微分约束或速度约束。

例如，圆柱体纯滚动的运动约束方程为

$$\dot{x}_0 - R\dot{\theta} = 0$$

注意到，上述运动约束可以经过积分转化为几何约束。我们称这样可积的运动约束为完整约束 (holonomical constraint), 并称仅受到完整约束的系统为完整系统 (holonomical system). 相应地，不可积的运动约束称为非完整约束 (nonholonomical constraint). 如果存在其它非完整约束，那么该力学系统为非完整系统 (nonholonomical system).

# 定常约束和非定常约束

定常约束 (scleronomic constraint) 又称理想约束，表示随时间不变的约束，或者说约束不直接依赖于时间。即

$$\frac{\partial f}{\partial t} = 0.$$

非定常约束 (rheonomic constraint) 表示随时间变化的约束，或者说约束直接依赖于时间。即

$$\frac{\partial f}{\partial t} \neq 0.$$

# 自由度与广义坐标

在高中的矢量力学中，首先要列出尽可能多的方程，然后依据约束消去未知量，从而达到自由度个数的方程并求解。在分析力学中，则是直接写出体系自由度的运动方程。

如果 $n$ 个质点组成的力学系统具有 $n$ 个位矢，则具有 $N=3n$ 个坐标，记作 $u_1, u_2, \dots, u_N$. 若该系统有 $m$ 个完整约束，那么有 $m$ 个坐标可以被解出，这样只剩下 $s = N-m = 3n-m$ 个独立坐标，称独立坐标个数 $s$ 为力学系统在有限运动中的自由度 (degree of freedom), 即单值地确定一个系统的位形所必须给出的独立量的数目。

因此，存在一种参数选择 $q_1, q_2, \dots, q_s$ 满足：

1. 各 $q_i$ 相互独立；
2. $q_1, q_2, \dots, q_s$ 可以完全确定各 $u_j$:

   $$u_j = u_j(q_1, q_2, \dots, q_s, t), \quad j = 1, 2, \dots, N \quad (*)$$

称这一组唯一确定系统位形且相互独立的的参数 $\bm{q}$ 为力学系统的广义坐标 (generalized coordinates) 或拉格朗日坐标 (Lagrange coordinates). $(*)$ 式称为坐标变换关系。

假如前述力学系统除了 $s$ 个完整约束之外，还存在 $k$ 个非完整约束，那么独立速度分量的数目会随之减少 $k$. 全部 $s-k$ 个独立速度分量 $v_1, v_2, \dots, v_{s-k}$, 称为广义速度 (generalized velocities). 广义速度分量个数是无限小运动的自由度。

# 虚功原理

考虑一个处于力学平衡状态的、有约束的力学系统。该系统在某一时刻，各个质点进行了与运动方程和约束条件兼容的无穷小位移 $\delta \bm{r}_i$, 称为一个虚位移。那么虚位移所作的虚功为

$$\sum_i \bm{F}_i \cdot \delta \bm{r}_i = 0.$$

将作用于质点 $i$ 上的力 $\bm{F}_i$ 划分为 $\bm{F}_i = \bm{F}^a_i + \bm{F}^c_i$, qu $\bm{F}^a_i$ 是与约束条件无关的力，称为主动力；$\bm{F}^c_i$ 是与约束条件相关的力，称为约束力。那么虚功可以写为

$$\sum_i \bm{F}^a_i \cdot \delta \bm{r}_i + \sum_i \bm{F}^c_i \cdot \delta \bm{r}_i = 0.$$

对于理想约束，约束力所作的虚功为零。因此，又

$$\sum_i \bm{F}^a_i \cdot \delta \bm{r}_i = 0,$$

即所有主动力的虚功为零。这就是虚功原理 (the principle of virtual work).

# 达朗贝尔原理

当考察的力学系统不处于平衡状态时，将力学系统中的运动方程 $\sum_i \bm{F}_i = 0$ 替换为 $\sum_i \bm{F}_i - \dot{\bm{p}}_i = 0$, 就得到

$$\sum_i (\bm{F}^a_i - \dot{\bm{p}}_i) \cdot \delta \bm{r}_i = 0,$$

或者说

$$\sum_i (\bm{F}^a_i - m_i\ddot{\bm{r}}_i) \cdot \delta \bm{r}_i = 0,$$

这就是达朗贝尔原理 (d'Alembert's principle). 在这里，$-\dot{\bm{p}}_i$ 或者 $-m_i \ddot{\bm{r}}_i$ 可以看作一个力，即达朗贝尔力 (d'Alembert's force) 或者惯性力 (inertial force).

# Ref

• 力学（第四版） 梁昆淼
• 理论力学 刘川
• holonomic 与 nonholonomic 的本质区别是什么？ - 沈月的回答 - 知乎
• 分析力学学习笔记（2）- 位形空间、相空间、约束与自由度 - 鹄桐的文章 - 知乎
• 拉格朗日方程中，为什么说广义坐标不是时间的函数？ - 知乎
• 从零学分析力学（拉格朗日力学篇） - 你的小睿子的文章 - 知乎