Euler 积分包括 $\Gamma$ 函数 (Gamma function) 和 $\Beta$ 函数 (Beta function)。

# $\Gamma$ 函数的定义和基本性质

# 定义

$\Gamma$ 函数定义为

$$\Gamma(s):= \int_0^{+\infty}x^{s-1}e^{-x}\mathrm dx$$

在不考虑积分的敛散性前，我们容易得到 $\Gamma$ 函数在一些特殊点的值。

首先，$\displaystyle \Gamma(1) = \int_0^{+\infty}e^{-x}\mathrm dx = 1$.

注意到 $\displaystyle \Gamma(s) = \int_0^1 x^{s-1}e^{-x} \mathrm dx + \int_1^{+\infty} x^{s-1}e^{-x} \mathrm dx$. 对项 $\displaystyle \int_0^1 x^{s-1}e^{-x} \mathrm dx$, 根据柯西判别法，在 $s \leq 0$ 时该项发散。又 $s>0$ 时两项均收敛，于是 $\Gamma(s)$ 的定义域为 $s>0$.

其次，注意到对于多项式与指数函数相乘的形式，我们通常采用分部积分进行计算。此处我们如此计算，得到

$$\Gamma(s) = -\int_{0}^{+\infty}x^{s-1} \mathrm de^{-x} = x^{s-1}e^{-x}\Big|_{0}^{+\infty} + (s-1)\int_{0}^{+\infty}x^{s-2}e^{-x} \mathrm dx = (s-1)\Gamma(s-1)$$

这时，我们得到一个重要的递推式：

$$\Gamma(s+1) = s\Gamma(s)$$

我们结合 $\Gamma(1) = 1$, 易递推得到 $\Gamma(n) = (n-1)!$, $\,∀n \in ℕ_+$. 这也是 $\Gamma$ 函数最初的目的：用连续函数表示阶乘。

根据 $\Gamma(s+1) = s\Gamma(s)$ 及 $\Gamma(s)$ 在 $s>0$ 处的值，可以将 $\Gamma(s)$ 进行延拓，将定义域扩展为 $ℝ^*\setminus ℤ_-$.

# 基本性质

# 递推性质

$$\Gamma(s+1) = s\Gamma(s),\,s \notin \{0,-1,-2,\dots\}$$

证明略。

# 余元公式

$$\Gamma(s)\Gamma(1-s) = \frac{\pi}{\sin \pi s}, \, s \in (0,1)$$

余元公式可以转化为级数求和证明，也可以采用围道积分计算。

# $\Beta$ 函数的定义和基本性质

# 定义

我们称

$$\Beta(a,b) = \int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}\mathrm dx,\,a,b > 0$$

为 $\Beta$ 函数。