# 单变元微分学

# 定义

# 可微

设函数 $f$ 在某邻域 $U(x_0, \delta)$ 内有定义，则若 $\exists A \in \mathbb{R}$ ( $A$ 是不依赖于 $x$ 的常数) 使得

$f(x) = f(x_0) + A(x-x_0) + o(x-x_0)$

当 $x \to x_0$ 时成立，则称 $f$ 在 $x_0$ 处可微 (differentiable), 并称 $A(x-x_0)$ 是 $f$ 在 $x_0$ 处的微分 (differential).

# 可导

设函数 $f$ 在某邻域 $U(x_0, \delta)$ 内有定义，则若极限

$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \triangleq f'(x_0)$

存在，则称 $f$ 在 $x_0$ 处可导 (derivable), 并称 $f'(x_0)$ 是 $f$ 在 $x_0$ 处的导数 (derivative).

同一一元函数 $f$ 在 $x_0$ 处可微与可导等价。

# 常见函数的导数 & 微分

基础导数公式

$(x^t)' = tx^{t-1} \quad (t \neq 0) \\ (a^x)' = a^x \ln a \quad (a>0,\, a \neq 1) \\ (\ln x)' = \frac{1}{x} \\$

$(\sin x)' = \cos x \\ (\cos x)' = -\sin x \\ (\tan x)' = \frac{1}{\cos ^2 x} \\ (\cot x)' = -\frac{1}{\sin ^2 x} \\$

$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ (\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}' \\ (\arcctg x)' = -\frac{1}{1+x^2}$

高阶导数公式

$(a^x)^{(n)} = a^x \ln^n a \\ (\ln x)^{(n)} = (-1)^{n(n-1)/2}(n-1)!x^{-n} \\$

# 微分学基本定理

# Rolle 中值定理

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且在 $(a,b)$ 内可导，且 $f(a) = f(b) = 0$ , 那么 $\exists \xi \in (a,b)$ 使得
$f'(\xi) = 0$

该定理称为罗尔中值定理 (Rolle).

# Lagrange 中值定理

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且在 $(a,b)$ 内可导，那么 $\exists \xi \in (a,b)$ 使得

$f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$

该定理称为拉格朗日中值定理 (Lagrange).

# 柯西 (Cauchy) 中值定理

设 $f(x), g(x)$ 均在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，并且在 $(a,b)$ 上恒有 $g'(x) \neq 0$ . 则 $\exists \xi \in (a,b)$ 满足

$\frac{f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$

# 皮亚诺 (Peano) 定理

设 $f,g,h$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，则存在 $\xi \in (a,b)$ 满足

$\left|\begin{matrix} f'(\xi) & g'(\xi) & h'(\xi) \\ f(a) & g(a) & h(a) \\ f(b) & g(b) & h(b) \\ \end{matrix}\right| = 0$

在 Peano 定理中，取 $h(x) \equiv 1$ , 则皮亚诺定理退化为柯西定理；若取 $g(x) \equiv x, h(x) \equiv 1$ , 则皮亚诺定理退化为拉格朗日定理。

# 洛必达 (L'Hospital) 法则

设 $f, g$ 均在 $(a,b)$ 内可导，且若

$\lim_{x \to a+}f(x) = \lim_{x \to a+}g(x) = 0$

则极限

$\lim_{x\to a+} \frac{f(x)}{g(x)} = A$

存在或为无穷，且满足

$\lim_{x\to a+} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a+} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

几点需要注意：

极限 $\lim_{x\to a+} \frac{f(x)}{g(x)}$ 不存在时不能使用洛必达法则。
极限中 $x \to a+$ 的含义是单边导数即可。
对于 $\infty/\infty$ 型不定式，只需要假设分母为 $\infty$ 即可，其余条件不变。
其余类型的不定式，需要向上述两类基本的不定式转换。

# 泰勒 (Taylor) 公式

# 泰勒多项式

若 $f$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可导，则 $f$ 在 $x_0$ 处的 $n$ 阶泰勒多项式定义为

$P_n(x) \equiv P_n(x;x_0,f) \coloneqq f(x_0) + \sum_{k=1}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$

# 皮亚诺 (Peano) 余项

# 单变元积分学

会积就行。但是不会积啊（