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菩提本无树，明镜亦非台。

惜数学分析学完就忘，叹积分大典架上吃灰。故作此篇《重修指南》，以唤醒灵魂之热爱，并提升积分之水平也。

# 说明

对于积分的定义，我们简单地认作导数的逆运算。而有关积分可积性的证明，也不作为此篇笔记的关注点。本篇笔记。仅仅是关注基本的定积分和不定积分在计算上的方法。

# 基础积分公式

首先，我们简单列举几个基础的积分公式，作为后续推导的基础。当然，在这些积分中，也有一些是可以经过其中的某几个推导出来的。我在这些积分式后面标了星号，这些式子可能作为后面的例子出现。不过，将这些积分熟练记住，是快速计算一般的积分式的基础。

基础积分公式

∫xαdx=xα+1α+1+C,α≠−1int1xdx=ln⁡∣x∣+C\int x^α \mathrm dx = \frac{x^{α+1}}{α+1} + C,\,α \neq -1 \\ int \frac{1}{x} \mathrm dx = \ln |x| + C

∫exdx=ex+C∫axdx=axln⁡a+C,a>0,a≠1\int e^x \mathrm dx = e^x + C \\ \int a^x \mathrm dx = \frac{a^x}{\ln a} + C,\,a>0,a\neq 1

∫sin⁡xdx=−cos⁡x+C∫cos⁡xdx=sin⁡x+C∫tan⁡xdx=−ln⁡∣cos⁡x∣+C∫cot⁡xdx=ln⁡∣sin⁡x∣+C∫sec⁡2xdx=tan⁡x+C∫csc⁡2xdx=cot⁡x+C\int \sin x \mathrm dx = -\cos x + C \\ \int \cos x \mathrm dx = \sin x + C \\ \int \tan x \mathrm dx = -\ln |\cos x| + C \\ \int \cot x \mathrm dx = \ln |\sin x| + C \\ \int \sec^2 x \mathrm dx = \tan x + C \\ \int \csc^2 x \mathrm dx = \cot x + C

∫dx1−x2=arcsin⁡x+C∫dxa2−x2=arcsin⁡xa+C\int \frac{\mathrm dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C \quad \int \frac{\mathrm dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin \frac xa + C

∫dx1+x2=ln⁡(x+x2+1)+C∫dxa2+x2=ln⁡(x+x2+a2)+C\int \frac{\mathrm dx}{\sqrt{1+x^2}} = \ln(x + \sqrt{x^2+1}) + C \quad \int \frac{\mathrm dx}{\sqrt{a^2+x^2}} = \ln(x + \sqrt{x^2+a^2}) + C

∫dx1+x2=arctan⁡x+C∫dxa2+x2=1aarctan⁡xa+C\int \frac{\mathrm dx}{1+x^2} = \arctan x + C \quad \int \frac{\mathrm dx}{a^2+x^2} = \frac 1a\arctan \frac xa + C

∫dxa2−x2=12aln⁡∣a+xa−x∣+C∫dxx2−a2=12aln⁡∣x−ax+a∣+C\int \frac{\mathrm dx}{a^2-x^2} = \frac{1}{2a} \ln \left|\frac{a+x}{a-x}\right| + C \quad \int \frac{\mathrm dx}{x^2-a^2} = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C \\

∫a2−x2dx=12(xa2−x2+a2arcsin⁡xa)\int \sqrt{a^2-x^2}\mathrm dx = \frac 12 (x\sqrt{a^2-x^2} + a^2\arcsin \frac xa) \\

∫x2+a2dx=12(xx2+a2+a2ln⁡(x+x2+a2))+C\int \sqrt{x^2+a^2}\mathrm dx = \frac 12 (x\sqrt{x^2+a^2} + a^2\ln(x + \sqrt{x^2+a^2})) + C

# 基本积分方法

# 第一换元法

第一换元法，又称凑微分法或直接代换法。指若 ∫f(u)du=F(u)+C\displaystyle \int f(u) \mathrm du = F(u) + C, 且 u=u(x)u = u(x) 可微，则

∫f(u(x))u′(x)dx=F(u(x))+C\int f(u(x)) u'(x)\mathrm dx = F(u(x)) + C

它实际上是把 dx\mathrm dx 配凑 u′(x)u'(x), 得到 du\mathrm du 从而简化被积函数的形式。

下面我们来举几个例子。

例题 1 求

∫eλxdx\int e^{λx} \mathrm dx

其中 λ≠0λ≠0.

解：

∫eλxdx=1λ∫eλxd(λx)=1λeλx+C\int e^{λx} \mathrm dx =\frac{1}{λ}\int e^{λx} \mathrm d(λx) = \frac{1}{λ}e^{λx} + C

例题 2 求

∫tan⁡xdx\int \tan x \mathrm dx

解：

∫tan⁡xdx=∫sin⁡xcos⁡xdx=∫dcos⁡xcos⁡x=ln⁡cos⁡x+C\int \tan x \mathrm dx = \int \frac{\sin x}{\cos x}\mathrm dx = \int \frac{\mathrm d\cos x}{\cos x} = \ln \cos x + C

一般地，对于三角函数的有理式积分，总是可积的。积分的具体方法在下面有理函数的积分中进行介绍。

例题 3 求

∫dxx4+x\int \frac{\mathrm dx}{x^4 + x}

解

∫dxx4+x=13∫3x2dxx6+x3=13∫dtt2+t=13ln⁡∣tt+1∣+C=13ln⁡∣x3x3+1∣+C\int \frac{\mathrm dx}{x^4 + x} = \frac 13 \int\frac{3x^2 \mathrm dx}{x^6 + x^3} = \frac 13 \int \frac{\mathrm dt}{t^2 + t} =\frac 13\ln\left|\frac{t}{t+1}\right|+C =\frac 13 \ln\left|\frac{x^3}{x^3+1}\right|+C

# 第二换元法

第二换元法又称代入换元法或逆代换法。指若 x=x(t)x = x(t) 可微且存在反函数 t=t(x)t = t(x), 又若 ∫f(x(t))x′(t)dx=F(t)+C\displaystyle \int f(x(t))x'(t) \mathrm dx= F(t) + C, 则

∫f(x)dx=F(t(x))+C\int f(x) \mathrm dx = F(t(x)) + C

# 分部积分法

根据 d(uv)=udv+vdu\mathrm d(uv) = u \mathrm dv + v\mathrm du, 有 udv=d(uv)−vduu \mathrm dv = \mathrm d(uv) - v\mathrm du, 从而将 ∫udv\displaystyle\int u\mathrm dv 转换成 ∫vdu\displaystyle \int v\mathrm du 的计算。

例题 求

∫xexdx\int xe^x \mathrm dx

解

∫xexdx=xex−∫exdx+C=(x−1)ex+C\int xe^x \mathrm dx = xe^x - \int e^x\mathrm dx + C = (x-1)e^x + C

在此处，我们将xexxe^x 的积分转化为exe^x 的积分。类似地，对于指数函数与多项式相乘的形式，每一次分部积分可以进行一次降次。从而类似的积分都可以计算。

# 一般函数的可积性与积分方式

# 有理分式的积分

# 三角函数有理分式的积分

可以通过基本的代换进行计算。关于具体的代换方式，我们可以将三角函数的有理式表示为关于sin⁡x\sin x 和cos⁡x\cos x 的二元函数R(sin⁡x,cos⁡x)R(\sin x, \cos x), 再分成以下三种情况讨论：

若R(−sin⁡x,cos⁡x)=−R(sin⁡x,cos⁡x)R(-\sin x, \cos x) = -R(\sin x, \cos x), 则令t=cos⁡xt = \cos x；

若R(sin⁡x,−cos⁡x)=−R(sin⁡x,cos⁡x)R(\sin x, -\cos x) = -R(\sin x, \cos x), 则令t=sin⁡xt = \sin x；

若R(−sin⁡x,−cos⁡x)=R(sin⁡x,cos⁡x)R(-\sin x, -\cos x) = R(\sin x, \cos x), 则令t=tan⁡xt = \tan x。

此时，可以转化为有理函数的积分。

# 略具技巧性的积分方法

# 观察法

观察法实际上是积分求解最基本、最快速的方法，意为通过观察直接寻找到对应函数的原函数。方法的强大程度和使用范围完全取决于观察者的能力🙃。下面，我们列举几个简单的题目，并简单说说猜测的方法。

例求∫x2exdx\displaystyle \int x^2e^x \mathrm dx.

解根据(f(x)ex)′=(f(x)+f′(x))ex\big(f(x)e^x\big)' = \big(f(x) + f'(x)\big)e^x, 我们容易看出deg⁡f(x)=2\deg f(x) = 2, 于是可以猜出f(x)=x2−2x+2f(x) = x^2-2x + 2.

例

# 配凑法

# 欧拉变换

# 第一类欧拉变换