首页 数学 数学分析

# 重修笔记前的碎碎念

其实之前是简单整理过一点点关于数学分析中极限理论的知识的，但是因为当时有更重要的事情在忙（或许这个只是借口），以及自己实际上真的傻傻分不清那些知识和概念，比如实数的那些基本定理等等，于是最终也没写多少。

现在看来，一个很重要的原因是，数学分析中所研究的 R\mathbb{R} 或者说 Rn\mathbb{R}^n 的空间性质太好了，以致于许多性质都太过 trival. 但是好的空间总是可遇不可求的。因此，抱着复习和为拓扑学与微分几何打基础的心态，还是需要将这些知识重新梳理一下。

其实，分析学中进行严谨化的办法就是 ϵ−N\epsilon-N 或者 ϵ−δ\epsilon-\delta 语言。然后按照离散情况与连续情况进行划分（对应数列极限与函数极限），每一部分都可以从单变元 R\mathbb{R} 推广到多变元 Rn\mathbb{R}^n. 这样的话，打算还是这样来写。至于实数的那几个让人掉头发的基本定理，我觉得还是放到单变元数列极限中进行梳理比较好。

最后呢，打算直接在原有笔记的基础上进行一个修补，就不再新开一篇笔记了。

状态：没改完

# 单变元数列极限

# 定义

给定数列 {an}n=0∞⊆R\{a_n\}_{n=0}^\infty \subseteq \mathbb{R}, 假若 ∃a∈R\exists a \in \mathbb{R}, 使得 ∀ε>0\forall \varepsilon>0, 若 ∃N∈R\exists N \in \mathbb{R} 使得 ∀n>N\forall n>N 均有

∣an−a∣<ε|a_n - a| < \varepsilon

则称数列 {an}n=0∞\{a_n\}_{n=0}^\infty 是收敛的 (convergence), 其极限 (limit) 是 aa, 记作 lim⁡n→∞an=a\lim_{n \to \infty} a_n = a 或 an→aa_n \to a. 若 ∄a∈R\nexists a \in \mathbb{R} 满足上述条件，则称数列 {an}n=0∞\{a_n\}_{n=0}^\infty 是发散的 (divergence).

# 收敛数列的性质

收敛数列的基本性质包括：

  1. 极限存在必唯一 (唯一性)
  2. 极限存在必有界 (有界性)
  3. 极限可以四则运算
  4. 夹逼定理
  5. 单调有界必有极限
  6. 数列的极限是其任意子数列的极限
  7. 任一有界数列中必存在一个趋于有限极限的数列 (闭区间套定理证明)

下面介绍一些数列极限不那么基本的性质。

# 柯西收敛准则

数列 {an}n=0∞\{a_n\}_{n=0}^\infty 趋于有限极限的充要条件是 ∀ε>0\forall \varepsilon>0, ∃N∈N\exists N \in \mathbb{N} 使得 ∃n,m>N\exists n,m > N 时，恒有

∣xn−xm∣<ε|x_n-x_m|<\varepsilon

对于其余极限问题，柯西收敛准则类似。

# 实数

# 实数系统基本定理

# 确界原理

非空有上界实数集必有上确界，非空有下界实数集必有下确界。

# 单调有界收敛定理

单调递增有上界数列必收敛，单调递减有下界数列必收敛。

# Cantor 区间套定理

设闭区间序列 {[an,bn]}n≥1\{[a_n,b_n]\}_{n \geq 1} 满足

[a1,b1]⊇[a2,b2]⊇⋯⊇[an,bn]⊇⋯[a_1,b_1] \supseteq [a_2, b_2] \supseteq \cdots \supseteq [a_n,b_n] \supseteq \cdots

且 lim⁡n→∞(bn−an)=0\lim_{n \to \infty} (b_n-a_n) = 0, 那么存在唯一的 x∈⋂n≥1[an,bn]x \in \bigcap_{n \geq 1}[a_n,b_n].

# Bolzano-Weierstrass 定理

有界数列必有收敛子列。

# Cauchy 收敛定理

Cauchy 数列必收敛。

# Heine-Borel 有限覆盖定理

设 I\mathscr{I} 是闭区间 [a,b][a,b] 的开覆盖，则存在有限个开区间 I1,…,Ik∈II_1, \dots, I_k \in \mathscr{I} 满足 [a,b]⊆⋃1≤i≤kIi[a,b] \subseteq \bigcup_{1 \leq i \leq k}I_i.

上述六定理等价。

# 函数极限

# 定义

函数的极限包括在某一有限值 aa 和无穷远处的极限。

若函数 f(x)f(x) 在 aa 的某一去心邻域内有意义，且 ∀ε>0\forall \varepsilon>0, ∃δ>0\exists \delta>0 使得 0<∣x−a∣<δ0<|x-a|<\delta 时，恒有

∣f(x)−A∣<ε|f(x)-A| < \varepsilon

则称 xx 趋于 aa 时，f(x)f(x) 的极限是 AA, 记作

lim⁡x→af(x)=a\lim_{x \to a}f(x) = a

# 基本性质

函数极限的基本性质与数列类似，包括：

  1. 唯一性
  2. 局部有界性

# Heine 定理

给定函数 f:U∘(a,ρ)→Rf:U^\circ(a,\rho) \to \mathbb{R} 及 A∈RA \in \mathbb{R}, 则

lim⁡x→af(x)=A⟺∀{an}n=0∞⊂U∘(a,ρ)使得an→a有lim⁡n→∞f(an)=A⟺∀{an}n=0∞⊂U∘(a,ρ)使得an→a有{f(an)}n=0∞收敛\begin{aligned} \lim_{x \to a} f(x) = A \iff & \forall \{a_n\}_{n=0}^\infty \subset U^\circ(a,\rho)\ \text{使得} \;a_n \to a \;\text{有}\; \lim_{n \to \infty} f(a_n) = A \\ \iff & \forall \{a_n\}_{n=0}^\infty \subset U^\circ(a,\rho)\ \text{使得} \;a_n \to a \;\text{有}\; \{f(a_n)\}_{n=0}^\infty \;\text{收敛} \\ \end{aligned}

Heine 定理是一个重要的定理，沟通了函数极限和数列极限。

# Eculidean 空间与多维数列极限

# Eculidean 空间及其子集

nn 维欧几里得空间 (n-dimensional Eculidean space) 的定义如下：

Rn≔{x=(x1,x2,…,xn):xi∈R,1≤i≤n}\mathbb{R}^n \coloneqq \{\bm{x}=(x_1, x_2, \dots, x_n):x_i \in \mathbb{R}, 1 \leq i \leq n\}

# 球

令 x∈Rn\bm{x} \in \mathbb{R}^n, 称

Bn(x,r)≔{y∈Rn:∣y−x∣<r}\mathbb{B}^n(\bm{x}, r) \coloneqq \{\bm{y} \in \mathbb{R}^n : |\bm{y}-\bm{x}|<r\}

为以 x\bm{x} 为球心 rr 为半径的球 (ball of radius rr at point xx). 特别地，x=0\bm{x} = \bm{0} 则简记为 Brn≔Bn(0,r)\mathbb{B}^n_r \coloneqq \mathbb{B}^n(\bm{0}, r). Bn≔B1n\mathbb{B}^n \coloneqq \mathbb{B}^n_1 表示 Rn\mathbb{R}^n 上的单位球 (unit ball).

定义球的目的就是便于描述 nn 维 Eculidean 空间中的邻域。

# 有界集、开集、闭集及相关概念

假设 SS 是 Rn\mathbb{R}^n 中的点集。若存在 M>0M>0 使得 S⊆BMnS \subseteq \mathbb{B}_M^n 成立，则称 SS 是有界集 (bounded set).

称 x∈Rn\bm{x} \in \mathbb{R}^n 是 SS 的内点 (interior point), 如果存在 r>0r>0 满足 Bn(x,r)⊆S\mathbb{B}^n(\bm{x}, r) \subseteq S. SS 的所有内点组成的集合记作 S∘S^\circ 或 Int(S)\mathrm{Int}(S), 称为 SS 的内部 (interior).

称 x∈Rn\bm{x} \in \mathbb{R}^n 是 SS 的外点 (exterior point), 如果存在 r>0r>0 满足 Bn(x,r)⊆Rn∖S\mathbb{B}^n(\bm{x}, r) \subseteq \mathbb{R}^n \setminus S. SS 的所有外点组成的集合记作 Ext(S)\mathrm{Ext}(S), 称为 SS 的外部 (exterior).

称 x∈Rn\bm{x} \in \mathbb{R}^n 是 SS 的边界点 (boundary point), 如果 x∉Int(S)∪Ext(S)\bm{x} \notin \mathrm{Int}(S) \cup \mathrm{Ext}(S). SS 的所有边界点组成的集合记作 ∂S\partial S 或 Bdy(S)\mathrm{Bdy}(S), 称为 SS 的边界 (boundary). 即 x∈∂S\bm{x} \in \partial S 当且仅当对 ∀r>0\forall r > 0, 球 Bn(x,r)\mathbb{B}^n(\bm{x}, r) 既包含 SS 的点又包含了 Rn∖S\mathbb{R}^n \setminus S 中的点。

称 x∈Rn\bm{x} \in \mathbb{R}^n 是 SS 的孤立点 (isolated point), 如果存在 r>0r>0 满足 Bn(x,r)∩S={x}\mathbb{B}^n(\bm{x}, r) \cap S = \{\bm{x}\}. SS 的所有孤立点组成的集合记作 Iso(S)\mathrm{Iso}(S), 显然 Iso(S)⊆∂S∩S\mathrm{Iso}(S) \subseteq \partial S \cap S, 即孤立点一定在边界上。

注意这里孤立点的要求是存在某个 rr 满足要求即可，因为若 rr 满足 Bn(x,r)∩S={x}\mathbb{B}^n(\bm{x}, r) \cap S = \{\bm{x}\}, 则 Bn(x,r/2)∩S={x}\mathbb{B}^n(\bm{x}, r/2) \cap S = \{\bm{x}\} 同样成立。

聚点的概念是孤立点反过来。

称 x∈Rn\bm{x} \in \mathbb{R}^n 是 SS 的聚点 (cluster point), 如果对于任意 r>0r>0 都有 Bn(x,r)\mathbb{B}^n(\bm{x}, r) 包含无穷多 SS 中的点。SS 的所有聚点组成的集合记作 S′S', 称为 SS 的导集 (derived set).

SS 的闭包 (closure) 定义为 S‾≔S∪S′\overline{S} \coloneqq S \cup S'.

若 S∘=SS^\circ = S, 则称 SS 是开集 (open set).

若 S‾=S\overline{S} = S, 则称 SS 是闭集 (closed set).

# Ref

  • 基本分析讲义 - 李逸
  • 数学分析习题课讲义 - 谢惠民