# 级数

# 数项级数

数项级数的基本收敛判别是采用定义和柯西收敛准则判别。

# 定义

对级数 $\sum_{n=0}^\infty a_n$, 定义部分和 (partial sum)

$$S_n \coloneqq \sum_{k=1}^n a_k$$

若部分和数列收敛，则称该级数收敛。反之，若部分和数列发散，则称该级数发散。

# 正项级数

对于正项级数，下述三种判别方法比较常用。分别是：

• 达朗贝尔判别法 (d'Alembert)
• 拉比判别法 (Raabe)
• 柯西判别法 (Cauchy)

# d'Alembert 判别法

对正项级数 $\sum_{i=1}^\infty a$, 若

$$\lim _{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \rho$$

则 $\rho>1$ 时该级数发散，$\rho<1$ 时级该数收敛。

# Raabe 判别法

对正项级数 $\sum_{i=1}^\infty a$, 若

$$\lim _{n \to \infty} n\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}-1\right) = \rho$$

则 $\rho>1$ 时该级数发散，$\rho<1$ 时级该数收敛。

# Cauchy 判别法

对正项级数 $\sum_{i=1}^\infty a$, 若

$$\lim _{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \rho$$

则 $\rho>1$ 时该级数发散，$\rho<1$ 时级该数收敛。

# 任意项项级数

# 绝对收敛和条件收敛

略。

# 交错级数

形如

$$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} a_n, \quad a_n>0$$

的任意项级数称为交错级数 (alternative series). 交错级数可以采用莱布尼茨判别法 (Leibniz) 判断收敛性。

# Leibniz 判别法

若数列 $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ 单调递减趋于 $0$, 那么交错级数

$$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} a_n, \quad a_n>0$$

收敛。

# 函数项级数

函数项级数实际属于多变量级数理论。

# 一致收敛

对定义在 $D$ 上的函数列 $\{f_n(x)\}_{n=1}^\infty$ 和函数 $f(x)$, 若 $\forall \varepsilon>0$, $\exists N = N(\varepsilon) \in \mathbb{N}$ 使得对 $\forall n>N$ 及 $x \in D$, 有

$$|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon$$

则称函数列 $\{f_n(x)\}_{n=1}^\infty$ 在 $D$ 上一致收敛 (uniformly converges) 到 $f(x)$, 记作 $f_n(x) \rightrightarrows_D f(x), n \to +\infty$, 简记为 $f_n(x) \rightrightarrows f(x)$.

此外，还可以给出内闭一致收敛的定义。

若 $\forall [a,b] \subset D$, 函数列 $\{f_n(x)\}_{n=1}^\infty$ 一致收敛到 $f(x)$, 则称函数列 $\{f_n(x)\}_{n=1}^\infty$ 在 $D$ 上内闭一致收敛到 $f(x)$.

# 幂级数

# 收敛半径

对级数 $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$, 若极限

$$\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = l$$

存在，则

• 若 $l = 0$, 则收敛半径 $R = +\infty$
• 若 $l = +\infty$, 则收敛半径 $R = 0$
• 若 $0<l<+\infty$, 则收敛半径 $R = 1/l$

此外，借助拉比判别法和柯西判别法也可以得到类似的收敛半径求解公式。

# 性质

幂级数在其收敛半径的开区间 $(-R, R)$ 上内闭一致收敛。