首页 数学 线性代数

# 线性空间的概念

# 数域

设 K\mathbb{K} 是复数集 C\mathbb{C} 的一个子集且至少有两个不同的元素，若 K\mathbb{K} 中任意两个数的加法、减法、乘法及除法（除数不为零）仍属于 K\mathbb{K}, 则称 K\mathbb{K} 是一个数域。

下面是一些数域的例子：

  • 有理数域 Q\mathbb{Q}, 实数域 R\mathbb{R}, 复数域 C\mathbb{C}.
  • Q(2)≔{a+b2∣a,b∈R}\mathbb{Q}(\sqrt{2}) \coloneqq \{a+b\sqrt{2}|a,b \in \mathbb{R}\}.

关于数域，有一个基本的性质：

任一数域必包含有理数域。

# 定义和例子

# 定义

设 VV 是一个非空集合，FF 是一个域。若存在一个 VV 上的二元运算 +:V×V→V+ : V \times V \to V （通常记作加法）和一个 FF 和 VV 上的运算 ⋅:F×V→V\cdot: F \times V \to V （通常记作数乘，可以省略算符），两者共同满足下列运算规则：

  1. 加法交换律：α+β=β+α,∀α,β∈V\alpha + \beta = \beta + \alpha, \forall \alpha, \beta \in V.
  2. 加法结合律：(α+β)+γ=α+(β+γ),∀α,β,γ∈V(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma), \forall \alpha, \beta, \gamma \in V.
  3. ∃0\exists \boldsymbol{0} 使得 α+0=α,∀α∈V\alpha + \boldsymbol{0} = \alpha, \forall \alpha \in V.
  4. ∀α∈V\forall \alpha \in V, ∃β∈V\exists \beta \in V 满足 α+β=0\alpha + \beta = \boldsymbol{0}.
  5. 1α=α1\alpha = \alpha.
  6. k(α+β)=kα+kβ,∀k∈K,α,β∈Vk(\alpha + \beta) = k\alpha + k\beta, \forall k \in \mathbb{K}, \alpha, \beta \in V.
  7. (k+l)α=kα+lα,∀k,l∈K,α∈V(k+l)\alpha = k\alpha + l\alpha, \forall k,l \in \mathbb{K}, \alpha \in V.
  8. k(lα)=(kl)α,∀k,l∈K,α∈Vk(l\alpha) = (kl)\alpha, \forall k,l \in \mathbb{K}, \alpha \in V.

则称 VV 为域 FF 上的一个线性空间 (linear space).

# 例子

下面是线性空间的一些基本的例子：

  1. 几何空间，即以定点 OO 为起点的所有向量的集合。
  2. 数域 K\mathbb{K} 上的 nn 维向量 Kn≔{(a1,a2,…,an)∣ai∈K,i=1,2,…,n}\mathbb{K}^n \coloneqq \{(a_1, a_2, \dots, a_n)|a_i \in \mathbb{K}, i=1,2,\dots,n\}.
  3. 集合 XX 上的实值函数集，即非空集合 XX 到 R\mathbb{R} 的全体映射，记作 RX\mathbb{R}^X.

# 线性子空间

# 线性空间的同构

# 定义

设 V,V′V, V' 都是数域 KK 上的线性空间，若存在双射 σ:V→V′\sigma: V \to V' 满足：

  1. σ\sigma 保持加法：σ(α+β)=σα+σβ,∀α,β∈V\sigma(\alpha + \beta) = \sigma \alpha + \sigma \beta, \forall \alpha, \beta \in V.
  2. σ\sigma 保持数乘：σ(kα)=k(σα),∀k∈K,α∈V\sigma(k\alpha) = k (\sigma \alpha), \forall k \in \mathbb{K}, \alpha \in V.

那么称 σ\sigma 是 VV 到 V′V' 的一个同构映射 (isomorpic mapping). 此时称 VV 与 V′V' 同构 (isomorpic), 记作 V≅V′V \cong V'.

# 性质

对有限维线性空间，同构的特征是线性空间的维度。即

定理 1 数域 KK 上的两线性空间 V,V′V, V' 同构 ⟺\iff dim⁡V=dim⁡V′\dim V = \dim V'.