# 矩阵的加法、数量乘法和矩阵乘法

我们用 $M_{s \times n}(\mathbb{K})$ 代表数域 $\mathbb{K}$ 上的所有 $s\times n$ 矩阵，且当 $s=n$ 时，简记作 $M_n(\mathbb{K})$.

# 矩阵加法

# 特殊矩阵 1

# 基本矩阵

# 对角矩阵

形如

$$\left(\begin{matrix} d_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & d_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & d_n \\ \end{matrix}\right)$$

的矩阵称为对角矩阵，简记作

$$\mathrm{diag}\{d_1, d_2, \dots, d_n\}.$$

# 性质

若 $A, B$ 都是对角矩阵，则 $AB=BA$.

# 分块矩阵

# 矩阵乘积的行列式

设 $A = (a_{ij})_{s \times n}$, $B = (b_{ij})_{n \times s}$. 若 $s>n$, 则 $|AB| = 0$. 若 $s = n$, 则 $|AB| = |A||B|$. 若 $s < n$, 则

$$|AB| = \sum_{\{v_1, v_2, \dots, v_s\} \subseteq \{1,2,\dots, n\}} A \binom{1,2,\dots,s}{v_1, v_2, \dots, v_s} B\binom{v_1, v_2, \dots, v_s}{1,2,\dots,s}$$

该结论称为比内 - 柯西公式 (Binet-Cauchy formula).

# 特殊矩阵 2

这部分是个大坑，用来整理某些特殊的矩阵及其性质。

# 不可约矩阵

# Ref

• StacExchange - How does one show a matrix is irreducible and reducible?