首页 数学 线性代数

# 基本概念和性质

# 定义

设 VV 和 V′V' 都是域 F\mathbb{F} 上的线性空间，A\boldsymbol{A} 是 VV 到 V′V' 的映射，若 A\boldsymbol{A} 满足

  1. \boldsymbol{A}(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}) = \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{A} \boldsymbol
  2. \boldsymbol{A}(k \boldsymbol{\alpha}) = k\boldsymbol

那么称 A\boldsymbol{A} 是 VV 到 V′V' 的一个线性映射 (linear mapping). 若 V′=VV' = V, 则称线性映射 A\boldsymbol{A} 是一个线性变换 (linear transformation).

# 性质

设 A:V→V′\boldsymbol{A}: V \to V' 是线性映射，那么有如下基本性质：

  1. A0=0′\boldsymbol{A0} = \boldsymbol{0}'.
  2. A(−α)=−Aα\boldsymbol{A}(-\alpha) = -\boldsymbol{A}\alpha.
  3. A(∑i=1nkiαi)=∑i=1nkiAαi\boldsymbol{A}(\sum_{i=1}^nk_i\alpha_i) = \sum_{i=1}^nk_i\boldsymbol{A}\alpha_i.
  4. 若 {αi}i=1n\{\alpha_i\}_{i=1}^n 在 VV 中线性相关，则 {Aαi}i=1n\{\boldsymbol{A}\alpha_i\}_{i=1}^n 在 V′V' 中线性相关。
  5. 设 dim⁡V=n\dim V = n, 在 VV 中取一个基 α1,α2,…,αn\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n. ∀α∈V\forall \alpha \in V, 设 α=∑i=1naiαi\alpha = \sum_{i=1}^na_i\alpha_i, 则 Aα=∑i=1naiAαi\boldsymbol{A}\alpha = \sum_{i=1}^na_i\boldsymbol{A}\alpha_i. 从而 A\boldsymbol{A} 被它在 VV 上的一个基决定。
  6. A\boldsymbol{A} 是 V→V′V \to V' 的同构映射 ⟺A\iff \boldsymbol{A} 是 V→V′V \to V' 的可逆线性映射。

# 运算

设 V,V′V, V' 都是域 F\mathbb{F} 上的线性空间。记 Hom(V,V′)\mathrm{Hom}(V, V') 为 V→V′V \to V' 的所有线性映射的集合。在 Hom(V,V′)\mathrm{Hom}(V, V') 上，规定运算如下：

  • 规定加法：∀A,B∈Hom(V,V′),α∈V,(A+B)α=Aα+Bα\forall \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \in \mathrm{Hom}(V, V'), \alpha \in V,\; (\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) \alpha = \boldsymbol{A}\alpha + \boldsymbol{B}\alpha.
  • 规定纯量乘法：∀k∈F,A∈Hom(V,V′),α∈V,(kA)α≔k(Aα)\forall k \in F, \boldsymbol{A} \in \mathrm{Hom}(V, V'), \alpha \in V,\; (k\boldsymbol{A})\alpha \coloneqq k(\boldsymbol{A}\alpha).
  • 规定乘法（复合）：∀A,B,(BA)α=B(Aα)\forall \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, (\boldsymbol{BA}) \alpha = \boldsymbol{B}(\boldsymbol{A}\alpha). 则线性映射的乘法满足结合律、左右分配律。

容易验证，Hom(V,V′)\mathrm{Hom}(V, V') 是域 F\mathbb{F} 上的一个有单位元的环。

# 投影

# 幂等变换

投影是一种幂等变换。

# 定义

VV 上的线性变换 A\boldsymbol{A} 若满足 A2=A\boldsymbol{A}^2 = \boldsymbol{A}, 则称 A\boldsymbol{A} 是 VV 上的幂等变换。

注意，若 Al=A,l>2\boldsymbol{A}^l = A, l > 2, 则不一定是幂等变换。

# 线性映射的核

# 定义

设 A∈Hom(V,V′)\boldsymbol{A} \in \mathrm{Hom}(V, V'), 则称 VV 的子集 {α∈V∣Aα=0}\{\alpha \in V|\boldsymbol{A} \alpha = 0\} 是 A\boldsymbol{A} 的核 (kernel), 记作 Ker(A)\mathrm{Ker}(\boldsymbol{A}).

# 性质

性质 1 Ker(A)\mathrm{Ker}(\boldsymbol{A}) 是 VV 的一个子空间。

性质 2 A\boldsymbol{A} 是单射 ⟺Ker(A)\iff \mathrm{Ker}(\boldsymbol{A}) 是零子空间。

定理 1 设 A∈Hom(V,V′)\boldsymbol{A} \in \mathrm{Hom}(V, V'), 则 V/Ker(A)≅Im(A)V/\mathrm{Ker}(\boldsymbol{A}) \cong \mathrm{Im}(\boldsymbol{A}).

定理 2 设 A∈Hom(V,V′)\boldsymbol{A} \in \mathrm{Hom}(V, V'), dim⁡(V)\dim(V)

# 基变换和相似矩阵

# 过渡矩阵

设 A\boldsymbol{A} 是域 F\mathbb{F} 上 nn 维线性空间 VV 上的一个线性变换。VV 中取两个基 α1,α2,…,αn\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n; η1,η2,…,ηn\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_n. 设

(η1,η2,…,ηn)=(α1,α2,…,αn)(s11,s12,…s1ns21,s22,…s2n⋮⋮⋱⋮sn1,sn2,…snn)(\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_n) = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n) \left(\begin{matrix} s_{11}, & s_{12}, & \dots & s_{1n} \\ s_{21}, & s_{22}, & \dots & s_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ s_{n1}, & s_{n2}, & \dots & s_{nn} \\ \end{matrix}\right)

则 S=(sij)n×nS = (s_{ij})_{n \times n} 称为基 (α1,α2,…,αn)(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n) 到基 (η1,η2,…,ηn)(\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_n) 的过渡矩阵 (transition matrix) 或基变换矩阵 (change-of-basis matrix).

# 性质

# 线性变换的特征值和特征向量

# 可对角化的线性变换

设 A\boldsymbol{A} 是域 F\mathbb{F} 上 nn 维线性空间 VV 上的一个线性变换。若 VV 中有一个基 α1,α2,…,αn\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n 使得 A\boldsymbol{A} 在此基上的上的矩阵为对角矩阵，那么称 A\boldsymbol{A} 可对角化。

# 线性变换的不变子空间

设 A\boldsymbol{A} 是域 F\mathbb{F} 上线性空间 VV 的一个线性变换，WW 是 VV 的一个子空间，若从 α∈W\alpha \in W 可推出 Aα∈W\boldsymbol{A}\alpha \in W, 那么称 WW 是 A\boldsymbol{A} 的一个不变子空间 (invariant subspace). 显然，0,V0, V 是 A\boldsymbol{A} 的不变子空间，称它们是平凡的。

# 性质

命题 1 A\boldsymbol{A} 的特征子空间、KerA\mathrm{Ker} A, ImA\mathrm{Im} A 是 A\boldsymbol{A} 的不变子空间。

证明略。

命题 2 设 A,B∈Hom(V,V)\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \in \mathrm{Hom}(V, V). 若 AB=BA\boldsymbol{AB} = \boldsymbol{BA}, 则 KerB\mathrm{Ker}\boldsymbol{B}, ImB\mathrm{Im}\boldsymbol{B} 及 B\boldsymbol{B} 的任一特征子空间都是 A\boldsymbol{A} 的不变子空间。

该命题说明了非平凡的子空间应该如何寻找。

命题 3 A\boldsymbol{A} 的两不变子空间的交与和仍然是 A\boldsymbol{A} 的不变子空间。

# Hamilton-Cayley 定理

设 A∈Fn×nA \in F^{n \times n}, 则 AA 的特征多项式 f(λ)f(\lambda) 是 AA 的一个零化多项式，即 f(A)=0f(A) = 0.

# 最小多项式

# 线性变换的最小多项式

定义 1 设 A\boldsymbol{A} 是域 F\mathbb{F} 上 nn 维线性空间 VV 上的一个线性变换，在 A\boldsymbol{A} 的所有非零的零化多项式中，次数最低的首一多项式称为 A\boldsymbol{A} 的最小多项式 (minimal polynomial).

命题 1 A\boldsymbol{A} 的最小多项式唯一。

# 矩阵的最小多项式

定义 2 域 F\mathbb{F} 上 nn 级矩阵 AA 的所有非零的零化多项式中，次数最低的首一多项式称为矩阵 AA 的最小多项式 (minimal polynomial).

显然，若 A\boldsymbol{A} 在 VV 的一个基下的矩阵是 AA, 则 A\boldsymbol{A} 与 AA 具有相同的最小多项式。

# 幂零变换

# 定义

若 ∃l∈N+\exists l \in \mathbb{N}_+ 使得 Al=0\boldsymbol{A}^l = \boldsymbol{0}, 则称 A\boldsymbol{A} 是幂零变换 (nilpotent transformation). 使 Al=0\boldsymbol{A}^l = \boldsymbol{0} 成立的最小正整数 ll 称为 A\boldsymbol{A} 的幂零指数 (nilpotent index).

# 性质

命题 4 设 A\boldsymbol{A} 是幂零指数为 ll 的幂零变换，则 A\boldsymbol{A} 的最小多项式 m(λ)=λlm(\lambda) = \lambda^l.

# Jordan 标准形

# 幂零变换的 Jordan 标准型

设 B\boldsymbol{B} 是域 F\mathbb{F} 上 rr 维线性空间 WW 上的一个幂零变换，其幂零指数为 ll. 于是存在 ξ\xi 使得

Bl−1ξ≠0,Blξ=0,\boldsymbol{B}^{l-1}\xi \neq \boldsymbol{0}, \; \boldsymbol{B}^l \xi = \boldsymbol{0},

则 {ξ,Bξ,…,Bl−1ξ}\{\xi, \boldsymbol{B}\xi, \dots, \boldsymbol{B}^{l-1}\xi\} 线性无关，则 l≤dim⁡W=rl \leq \dim W = r. 于是，⟨ξ,Bξ,…,Bl−1ξ⟩\langle\xi, \boldsymbol{B}\xi, \dots, \boldsymbol{B}^{l-1}\xi\rangle 是 B\boldsymbol{B} 的不变子空间。

# 基本概念

定义 1 域 F\mathbb{F} 上的矩阵

(a10⋯00a1⋯0⋮⋮⋮⋱⋮000⋯1000⋯a)t×t\left(\begin{matrix} a & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a \\ \end{matrix}\right)_{t \times t}

称为主对角元为 aa 的一个 tt 级约尔当块 (Jordan block), 记作 Jt(a)J_t(a).

定义 2 由若干个 Jordan 块组成的分块对角矩阵称为一个约尔当形矩阵 (Jordan matrix).

定义 3 A\boldsymbol{A} 是域 F\mathbb{F} 上 nn 维线性空间 VV 上的一个线性变换，若存在 α∈V\boldsymbol{\alpha} \in V 使得 {α,Aα,…,At−1α}\{\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A\alpha}, \dots, \boldsymbol{A}^{t-1}\boldsymbol{\alpha}\} 线性无关，且 Atα∈⟨α,Aα,…,At−1α⟩\boldsymbol{A}^t\boldsymbol{\alpha} \in \langle\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A\alpha}, \dots, \boldsymbol{A}^{t-1}\boldsymbol{\alpha}\rangle （或 Atα=0\boldsymbol{A}^t\boldsymbol{\alpha} = 0 ）, 则称 ⟨α,Aα,…,At−1α⟩\langle\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A\alpha}, \dots, \boldsymbol{A}^{t-1}\boldsymbol{\alpha}\rangle 是一个 A\boldsymbol{A}- 循环子空间 (cyclic subspace)（或 A\boldsymbol{A}- 强循环子空间 (strongly cyclic subspace)）.

定理 1 B\boldsymbol{B} 是域 F\mathbb{F} 上 nn 维线性空间 VV 上的一个幂零变换，其幂零指数为 ll. 则 WW 可分解成 dim⁡W0\dim W_0 个 B\boldsymbol{B}- 强循环子空间的直和，其中 W0W_0 是 B\boldsymbol{B} 的属于特征值 00 的子空间。

B\boldsymbol{B} 是域 F\mathbb{F} 上 rr 维线性空间 WW 上的一个幂零变换，其幂零指数为 ll, 则在 WW 中有一个基使得 B\boldsymbol{B} 在此基下的矩阵 BB 是一个 Jordan 形矩阵，且其 Jordan 块的总数为

dim⁡W0=dim⁡KerB=dim⁡W−rank(B).\dim W_0 = \dim \mathrm{Ker}\boldsymbol{B} = \dim W - \mathrm{rank}(\boldsymbol{B}).

其中，每一个 Jordan 块的主对角元为 00, 且级数 t≤lt \leq l. tt 级 Jordan 块的个数

N(t)=rank(Bt−1)+rank(Bt+1)−2rank(Bt)=rank(Bt−1)+rank(Bt+1)−2rank(Bt).N(t) = \mathrm{rank}(B^{t-1})+\mathrm{rank}(B^{t+1})-2\,\mathrm{rank}(B^{t}) = \mathrm{rank}(\boldsymbol{B}^{t-1}) + \mathrm{rank}(\boldsymbol{B}^{t+1}) -2\,\mathrm{rank}(\boldsymbol{B}^{t}).

该矩阵 BB 称为 B\boldsymbol{B} 的一个约尔当标准形 (Jordan normal form) 或约尔当规范形式 (Jordan Canonical Form, JCF).

若不考虑 Jordan 块的排列顺序，则上述 Jordan 标准型是唯一的。

# 线性变换的 Jordan 标准形

# Ref

  • Jordan 标准形
    • Wikipedia - Jordan normal form