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# 集类

集合的极限是在集类中讨论的。我们称以某集合 XX 的某些子集为元素组成一个 (XX 上的) 集类 (class). 在没有特殊说明的情况下，我们总假定集类是非空的。这样，我们就可以把集合的序列限制在集类中进行讨论。

# 环与代数

设 XX 是一个集合，R\boldsymbol{R} 是 XX 上的集类，若 R\boldsymbol{R} 满足：∀E1,E2∈R\forall E_1, E_2 \in \boldsymbol{R}, 有

  1. E_1 \cup E_2 \in \boldsymbol
  2. E_1 \setminus E_2 \in \boldsymbol

则称 R\boldsymbol{R} 是 XX 上的环 (ring). 特别地，若还有 X∈RX \in \boldsymbol{R}, 那么称 R\boldsymbol{R} 是 XX 上的代数 (algebra), 或称为域 (field).

# σ- 环和 σ- 代数

设 S\boldsymbol{S} 是 XX 上的集类，若对 ∀Ei∈S,i=1,2,…\forall E_i \in \boldsymbol{S}, i=1,2,\dots 都有

⋃i=1∞Ei∈S,E1−E2∈S\bigcup_{i=1}^\infty E_i \in \boldsymbol{S}, \quad E_1-E_2 \in \boldsymbol{S}

则称 S\boldsymbol{S} 是 XX 上的 σ- 环。若又有 X∈SX \in \boldsymbol{S}, 则称 S\boldsymbol{S} 是 XX 上的 σ- 代数，或称 σ- 域。

# 单调集列

若 {An,n≥1}\{A_n,n\geq1\} 为一集列，若对 ∀n∈N+\forall n \in \mathbb{N}_+, 有 An⊂An+1A_n \subset A_{n+1} （或 An⊃An+1A_n \supset A_{n+1}）则称 {An}\{A_n\} 是单调增 (或单调减) 的，这两种集列统称为单调集列.

# 极限

容易看出，单调集列的极限常常是容易刻画的，可以表示为单调递减集列的无穷交或是单调递增集列的无穷并。因此，对于一般的集列 {An}n=1∞\{A_n\}_{n=1}^\infty, Bn≔⋂i=n∞AiB_n \coloneqq \bigcap_{i=n}^\infty A_i 是单调增的，Cn≔⋃i=n∞AiC_n \coloneqq \bigcup_{i=n}^\infty A_i 是单调减的。我们如此采用单调集列来定义极限，就得到了集合的上极限与下极限。

# Ref

  • 实变函数论与泛函分析 夏道行