在每门课起始都复习预备知识是无聊甚至愚蠢的行为。

# 集合的运算

# 基本运算

集合的基本运算定义如下：

• 并 (union): A \cup B \coloneqq \
• 交 (intersection): A \cap B \coloneqq \
• 差 (differnece): A \setminus B \coloneqq \
• 对称差 (symmetric difference): $A \triangle B \coloneqq (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$
• 若定义全集 $\Omega$, 则称 $C_\Omega(A) \coloneqq \Omega \setminus A$ 为 $A$ 在 $\Omega$ 内的补或余集 (complement), 在全集的情况明确下可记作 $\bar A$ 或 $A^c$.

这是这篇笔记中集合基本运算的符号表示。

# 幂集

我们定义集合 $A$ 的所有子集作为元素组成的集合为 $A$ 的幂集 (power set), 记作 $P(A)$ 或 $2^A$.

# 笛卡尔积

对于两个集合 $A,\,B$, 我们定义 $A$ 与 $B$ 的笛卡尔积 (Cartesian product) 为 $A \times B:=\{(a,b)|a \in A, b\in B\}$, 又叫直积。类似地，我们可以归纳定义多个集合以至无穷个集合的笛卡尔积。显然，笛卡尔积不满足交换律却满足结合律，因此我们可以定义笛卡尔积下的幂 (power) 为 $n$ 个 $A$ 的笛卡尔积，即 $A^n = A \times A \times \cdots \times A$ (共 $n$ 个)。

# Ref

• 基本分析讲义 - 李逸