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# 双线性函数

# 定义和例子

设 VV 是域 F\mathbb{F} 上的一个线性空间，V×VV \times V 到 F\mathbb{F} 的一个映射 ff 如果满足 ∀α1,α2,β1,β2,α,β∈V\forall \alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2, \alpha, \beta \in V, k1,k2∈Fk_1, k_2 \in F, 有

  1. f(k1α1+k2α2,β)=k1f(α1,β)+k2f(α2,β)f(k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2, \beta) = k_1 f(\alpha_1, \beta) + k_2 f(\alpha_2, \beta)
  2. f(α,k1β1+k2β2)=k1f(α,β1)+k2f(α,β2)f(\alpha, k_1\beta_1 + k_2\beta_2) = k_1 f(\alpha, \beta_1) + k_2 f(\alpha, \beta_2)

那么称 ff 是 VV 上的双线性函数，即 ff 对其两个自变量都满足线性性。

下面是双线性函数的几个例子：

  1. 欧几里得空间 Rn\mathbb{R}^n 的标准内积是双线性函数。
  2. 设 V=C[a,b]V = C[a,b], 对 ∀g,h∈C[a,b]\forall g,h \in C[a,b], 令 f(g(x),h(x))=∫abg(x)h(x)dx\displaystyle f(g(x),h(x)) = \int_a^b g(x)h(x) \mathrm{d}x, 则 ff 是 C[a,b]C[a,b] 上的双线性函数，且是无限维的双线性函数。

# 度量矩阵

# 概念

当为线性空间确定一个基后，双线性函数变得可刻画了。下面，我们考虑有限维空间上的双线性函数。

设 VV 是域 F\mathbb{F} 上的一个 nn 维线性空间，在 VV 中取一组基 {αi}i=1n\{\alpha_i\}_{i=1}^n. x,y\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} 在 VV 的这组基下的坐标分别为

x=(x1,x2,…,xn)⊤,y=(y1,y2,…,yn)⊤\boldsymbol{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)^\top, \;\boldsymbol{y} = (y_1, y_2, \dots, y_n)^\top

设 ff 是 VV 上的双线性函数，那么

f(x,y)=f(∑i=1nxiαi,∑j=1nyjαj)=∑i=1n∑j=1nxiyjf(αi,αj)f(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) = f\left(\sum_{i=1}^nx_i\alpha_i, \sum_{j=1}^ny_j\alpha_j\right) = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nx_iy_jf(\alpha_i, \alpha_j)

令 A=(f(αi,αj))n×nA = \big(f(\alpha_i, \alpha_j)\big)_{n \times n}. 那么 f(x,y)=x⊤Ayf(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) = \boldsymbol{x}^\top A\boldsymbol{y}.

因此，我们称 AA 是双线性函数 ff 在基 {αi}i=1n\{\alpha_i\}_{i=1}^n 下的度量矩阵。

# 不同基下的度量矩阵

设 ff 是域 F\mathbb{F} 上 nn 维线性空间 VV 上的一个双线性函数，{αi}i=1n,{βi}i=1n\{\alpha_i\}_{i=1}^n,\, \{\beta_i\}_{i=1}^n 是 VV 的两组基，且有过渡矩阵 PP 使得

(β1,β2,…,βn)=(α1,α2,…,αn)P(\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n) = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n) P

若 ff 在两基下的矩阵分别为 A,BA, B. 那么，

B=P⊤APB = P^\top A P

换句话说，同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的。

# 矩阵的合同

# 定义

设 A,B∈Mn(F)A, B \in \mathrm{M}_n(\mathbb{F}), 若存在 C∈GLn(F)C \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{F}) 使得 B=C⊤ACB=C^\top A C, 则称 AA 与 BB 合同 (congruent), 记作 A≃BA \simeq B.

# 性质

  1. 若 A,B∈Mn(F)A, B \in \mathrm{M}_n(\mathbb{F}), A≃BA \simeq B, 则 rank(A)=rank(B)\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}(B).

# 度量矩阵的秩

注意到，度量矩阵在不同基下的矩阵相互合同，因此不同基下的秩唯一，我们称这个秩为双线性函数的矩阵秩，记作 rankmf\mathrm{rank}_m f.

# 对称 (斜对称) 双线性函数

域 F\mathbb{F} 上线性空间 VV 上的双线性函数 ff 若满足

f(α,β)=f(β,α),∀α,β∈Vf(\alpha, \beta) = f(\beta, \alpha), \quad \forall \alpha, \beta \in V

则称 ff 是对称的 (symmetric). 若满足

f(α,β)=−f(β,α),∀α,β∈Vf(\alpha, \beta) = -f(\beta, \alpha), \quad \forall \alpha, \beta \in V

则称 ff 是斜对称的 (skew-symmetric).

# 酉空间

# 基本概念和性质

# 内积

复数域上的线性空间 VV 上的一个二元函数 (⋅,⋅)(\cdot, \cdot) 称为 VV 上的一个内积，当且仅当其满足

  1. 对 ∀α1,α2,β∈V,k1,k2∈C\forall \alpha_1, \alpha_2, \beta \in V, k_1, k_2 \in \mathbb{C}, 有 (k1α1+k2α2,β)=k1(α1,β)+k2(α2,β)(k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2, \beta) = k_1(\alpha_1, \beta) + k_2(\alpha_2, \beta) (半线性)
  2. (α,β)=(β,α)‾(\alpha, \beta) = \overline{(\beta, \alpha)} (Hermite 性)
  3. (α,α)≥0(\alpha, \alpha) \geq 0, 等号成立当且仅当 α=0\alpha = \boldsymbol{0}.

# 酉空间

若复线性空间 VV 上有一个内积，那么称 VV 是复内积空间，又称酉空间 (unitary space).

# 长度

在酉空间 VV 中，(α,α)\sqrt{(\alpha, \alpha)} 称为 α\alpha 的长度 (length), 记作 ∣α∣|\alpha| 或 ∥α∥\|\alpha\|.

# Cauchy-Schwarz 不等式和夹角

在酉空间 VV 中，对于任意向量 α,β\alpha, \beta, 有

∣(α,β)∣≤∣α∣∣β∣|(\alpha, \beta)| \leq |\alpha| \, |\beta|

等号成立当且仅当 α,β\alpha, \beta 线性相关。该不等式称为柯西 - 施瓦茨不等式 (Cauchy-Schwarz inequailty).

基于 Cauchy-Schwarz 不等式，我们可以定义任意两个非零向量 α,β\alpha, \beta 间的夹角 ⟨α,β⟩\lang\alpha, \beta\rang:

⟨α,β⟩≔arccos⁡∣(α,β)∣∣α∣∣β∣\lang\alpha, \beta\rang \coloneqq \arccos\frac{|(\alpha, \beta)|}{|\alpha|\,|\beta|}

# 三角不等式

基于 Cauchy 不等式，我们可以得到三角不等式：

∣α+β∣≤∣α∣+∣β∣|\alpha + \beta| \leq |\alpha| + |\beta|

因此，范数天然就是一种度量。

# 酉变换

若酉空间 VV 上到自身的满射 A\boldsymbol{A} 保持内积不变，即

(Aα,Aβ)=(α,β),∀α,β∈V(\boldsymbol{A}\alpha, \boldsymbol{A}\beta) = (\alpha, \beta), \quad \forall \alpha, \beta \in V

那么称 A\boldsymbol{A} 是 VV 上的一个酉变换 (unitary transformation).

# 性质

  1. 酉空间上的酉变换一定是线性变换，且是单射，从而是可逆映射。
  2. 酉空间 VV 上的酉变换 A\boldsymbol{A} 是酉变换，当且仅当 A\boldsymbol{A} 是 VV 到自身的一个同构映射。
  3. 酉变换的复合和逆变换仍是酉变换。
  4. nn 维酉空间 VV 上的线性变换 A\boldsymbol{A} 是酉变换 ⟺\iff A\boldsymbol{A} 将标准正交基映射成标准正交基 ⟺\iff A\boldsymbol{A} 在标准正交基下的矩阵是酉矩阵

# Hermite 变换

酉空间 VV 上的一个变换 A\boldsymbol{A} 若满足

(Aα,β)=(α,β)(\boldsymbol{A}\alpha, \beta) = (\alpha, \boldsymbol{\beta})

那么称 A\boldsymbol{A} 是 VV 上的一个埃尔米特变换 (Hermite transformation), 又称自伴随变换。

# 性质

  1. 酉空间上的 Hermite 变换一定是线性变换。
  2. nn 维酉空间 VV 上的线性变换 A\boldsymbol{A} 是 Hermite 变换当且仅当 A\boldsymbol{A} 在 VV 的任一标准正交基下的矩阵 AA 满足 A†=AA^\dag = A. 其中 A†A^\dag (也记作 AHA^H 或 A∗A^*) 表示 AA 的复共轭。我们称满足上述条件的矩阵为埃尔米特矩阵 (Hermite matrix), 又称自伴矩阵。