这里主要的参考教材是刘连寿老师的《物理学中的张量分析》课本。此外还参考了部分线性代数教材和量子力学教材。

补充：参考了更多的材料，然后把之前的张量积 & Kronecker 积合并进来了，那一篇显然当时什么也不懂。

# 预备知识

很基础的问题，就是为什么要用张量。这里首先考虑三维欧式空间中的矢量和坐标系。

# 坐标系

三维欧式空间中的坐标系包括三个基，用 $\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3\}$ 表示，称为坐标基矢。按照手的螺旋顺序从 $\boldsymbol{e}_1$ 到 $\boldsymbol{e}_2$ 得到 $\boldsymbol{e}_3$ 方向，若右手自然，则称为右手系，反之称为左手系。

# 对称符号

定义两个基本的符号，用于后续表示的简化。

称 $\delta_{ij}$ 为 Kronecker 符号，定义为

$$\delta_{ij} = \left\{ \begin{aligned} & 0, && i \neq j \\ & 1, && i = j. \\ \end{aligned} \right.$$

称 $\varepsilon_{ijk}$ 为 Levi-Civita 符号，定义为

$$\varepsilon_{ijk} = \left\{ \begin{aligned} & 1, && ijk \text{ is even permutation,} \\ & -1, && ijk \text{ is odd permutation,} \\ & 0, && i = j \text{ or } j = k \text{ or } k = i. \\ \end{aligned} \right.$$

# 哑标和自由标

注意到，有些角标变量的引入仅仅为了描述方便，脚标变量的各取值在计算结果中占等价地位，例如 $x_i' = \sum_{j=1}^3 a_{ij}x_j$ 中的角标 $j$, 我们称这样的角标为哑标 (dummy index), 反之 $i$ 称为自由标 (free index).

基于哑标特点，Einstein 提出了 Einstein 求和约定 (Einstein summation convention), 即省略求和号，对于同项的重复指标作求和处理。例如上式 $x_i' = \sum_{j=1}^3 a_{ij}x_j$ 可以简化为 $x_i' = a_{ij}x_j$. 该求和约定在数学、物理学和 AI 领域都得到了广泛使用。下面我们的式子中也采用该约定。

# 矢量基本运算

对于两矢量 $\boldsymbol{a} = a_i\boldsymbol{e}_i, \boldsymbol{b} = b_i\boldsymbol{e}_i$, 点积 (dot product) 定义为

$$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_j \boldsymbol{e}_i \cdot \boldsymbol{e}_j = a_i b_j \delta_{ij},$$

叉积 (cross product) 定义为

$$\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = a_i b_j \boldsymbol{e}_i \times \boldsymbol{e}_j = \varepsilon_{ijk} a_i b_j \boldsymbol{e}_k = \varepsilon_{ijk} \boldsymbol{e}_i a_j b_k.$$

# 坐标变换

这里考虑正交变换前后的坐标变化。原本的基矢为

$$\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3,$$

变换后的基矢为

$$\boldsymbol{e}_{1'}, \boldsymbol{e}_{2'}, \boldsymbol{e}_{3'}.$$

然后变换矩阵是 \boldsymbol

# 指标运算

# 张量的数学形式

# Ref

• 物理学中的张量分析 - 刘连寿
• 高等代数学 - 张贤科
• 高等线性代数学 - 黎景辉
• 张量系列 DLC 矢量混合运算 / Levi-Civita 符号与 Kronecker delta - 東雲正樹的文章 - 知乎
• 并矢是什么？如何运算？- 東雲正樹的文章 - 知乎
• Note：张量积、直积、直和、Cartesian 积与 Kronecker 积的区别与联系【物理向】 - Frank Hua 的文章 - 知乎
• 指标运算 I（倾情奉献） - 物理学圣剑的文章 - 知乎